Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie und darüber hinaus im Schwerkraftfeld der Erde zu messen ist ein Hauptziel gegenwärtiger Forschung und Technologieentwicklung. Diese Effekte spielen bereits eine wichtige Rolle im alltäglichen Lebens, so zum Beispiel bei der hochgenauen Orts- und Zeitbestimmung mit globalen Navigationssatellitensystemen wie GPS und GALILEO, die heutzutage allgegenwärtig sind. Die ebenfalls von Einstein vorhergesagte, und 1995 in einem technologischen Durchbruch erstmals experimentell realisierte Bose-Einstein-Kondensation, hat seither Materiewellen- Interferometer etabliert, in welchen Laser-Pulse genutzt werden um Bose-Einstein-Kondensate kohärent aufzuspalten, abzulenken und zu rekombinieren. Während diese bereits überaus erfolgreich als hochgenaue Sensoren zur Beschleunigungsmessung, als Gyroskope, sowie als Gravimeter zur Schwerefeldmessung eingesetzt werden, besitzen Materiewellen- Interferometer mit ihrer beispiellos hohen potentiellen Empfindlichkeit ein enormes Poten- tial als hervorragende Quantensonden für die fundamentale Physik. Aus diesem Grund werden weltweit gegenwärtig erhebliche Anstrengungen unternommen um diese vielversprechende Technologie zu robusten und hochempfindlichen Instrumenten zu entwickeln. Das deutsche QUANTUS-Projekt (QUANTengase Unter Schwerelosigkeit) steht an vorderster Front dieser Technologieentwicklung. QUANTUS konnte in den vergangenen Jahren sowohl die ersten Bose-Einstein-Kondensate, wie auch die ersten Materiewellen- Interferometer im freien Fall demonstrieren. Anfang 2017 gelang dann im Rahmen der MAIUS-1 Mission auf einer Höhenforschungsrakete die Erzeugung des weltweit ersten Bose-Einstein-Kondensats im Weltraum. Hierbei verfolgt QUANTUS das Ziel, mithilfe der gleichzeitigen Interferometrie an zwei verschiedenen atomaren Spezies, einen Quantentest des einsteinschen Äquivalenzprinzips durchzuführen, welches die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie als geometrische Theorie der Gravitation darstellt. Vor diesem Hintergrund ist es relevant eine Beschreibung von frei fallenden Experimenten im Gravitationsfeld der Erde zur Verfügung zu haben, die über die übliche newtonschen Näherung hinausgeht, und die die Realität der gekrümmten Raumzeit in einem vollständig kovarianten Ansatz innerhalb der allgemeinen Relativitätstheorie abbildet. In dieser Dissertation arbeiten wir detailliert die für eine solche umfassende Beschreibung relevanten Konzepte der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie heraus. Dabei bauen wir unsere sehr allgemeine Beschreibung auf die experimentell relevanten und durch sogenannte Vierbeine repräsentierten inertialen, bzw. nicht-inertialen lokalen Koordinatenrahmen auf, die man sich als mit dem Experiment mitfallende Koordinatensysteme vorstellen kann, so z. B. im Fallturm, oder auf Satelliten in der Erdumlaufbahn, wie beispielsweise der Internationale Raumstation ISS. Unser Hauptwerkzeug sind dabei mit diesen lokalen Rahmen verbundene Fermi-Normalkoordinaten, die eine lokale Krümmungsentwicklung um die flache Raumzeit darstellen, und somit als eine Entwicklung um das Äquivalenzprinzip verstanden werden können. Diese in der Forschungsliteratur stark unterrepräsentierten Fermi-Koordinaten, sowie die ihnen zugrundeliegenden sogenannten Riemannschen Normalkoordinaten, werden von uns ausgiebig diskutiert. Insbesondere können wir eine neue kombinatorische Interpretation für die bei der Entwicklung des Vierbeins und der Metrik in diesen Koordinaten auftretenden komplizierten Polynome im Riemann-Tensor und seinen Ableitungen angeben. Abschließend wenden wir diese von uns erarbeiteten allgemein-relativistischen Entwicklungen auf die mean-field-Beschreibung von im Schwerkraftfeld der Erde frei fallende Bose-Einstein-Kondensaten an. Dabei modellieren wir die von der Erde erzeugte Raumzeit-Krümmung durch die Schwarzschild-Metrik, für die wir die lokale Metrik in Fermi-Koordinaten entlang von radialen und Kreisgeodäten ausrechnen. Mithilfe einer relativistischen Verallgemeinerung der Gross-Pitaevskii-Gleichung in Form der nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung und der Metrik in Fermi-Koordinaten, erhalten wir im nichtrelativistischen Grenzfall die verschiedenen lokalen gezeitenartigen newtonschen und relativistischen Korrekturen und diskutieren ihre Größenordnungen.