Leichte Kerne, die nur aus wenigen Nukleonen bestehen, sind ausgezeichnete Objekte, um unser Verständnis fundamentaler Wechselwirkungen zu überprüfen. Gebunden durch die verbleibende starke Wechselwirkung, die zwischen den Quarks im Inneren der Protonen und Neutronen wirkt, bilden diese Kerne interessante Strukturen wie kondensierte α-Gruppen (Cluster) oder Halo-Kerne, deren kerntheoretische Beschreibung herausfordernd ist. In den letzten Jahrzehnten wurden in der Quantenchromodynamik verwurzelte ab initio Kernstrukturberechnungen erheblich verbessert. Die Bereitstellung genauer Referenzwerte für diese Theorien ist unerlässlich, um die Präzision von Vorhersagen über die Entstehung der Kernmaterie zu verbessern. Die Isotope des leichten Elements Kohlenstoff (C) sind hochinteressant, da sie ausgeprägte α-Cluster aufweisen und ein wichtiger Bestandteil des Nukleosyntheseprozesses in Sternen sind. Darüber hinaus liegt C an der Grenze dessen, was mit Kernstrukturberechnungen höherer Ordnung berechenbar ist, und aufgrund seiner ungünstigen spektralen Eigenschaften sind bisher auch keine experimentellen hochpräzisen Spektroskopiedaten verfügbar. In dieser Arbeit wird der differentielle Kernladungsradius von ¹²⸴¹³C rein aus Ergebnissen von ab initio nichtrelativistischen quantenelektrodynamischen Atomstrukturrechnungen und hochpräzisen kollinearen Laserspektroskopie-Messungen bestimmt, die an der Kollinearen Apparatur für Laserspektroskopie und Angewandte Wissenschaft (KOALA) am Institut für Kernphysik der Technischen Universität Darmstadt durchgeführt wurden. Dazu wurden erstmals hochgenaue Messungen der 1s2s ³S₁ → 1s2p ³P₀,₁,₂ Übergänge in He-ähnlichem ¹³C⁴⁺ durchgeführt und mit Messungen in ¹²C⁴⁺ aus einer vorangegangenen Arbeit kombiniert. Die C⁴⁺-Isotope im metastabilen ³S₁-Zustand werden in einer Elektronenstrahl-Ionenquelle erzeugt und sind mit Lasern zugänglich, die bei einer Wellenlänge von 227,6 nm betrieben werden. Die Fluoreszenzdetektionsregion (FDR) von KOALA wurde mit einer neuen linsenbasierten FDR verbessert, die im Rahmen dieser Arbeit entwickelt und gebaut wurde. Das neue Segment bietet ein verbessertes Signal-zu-Rausch-Verhältnis im Vergleich zu dem früheren spiegelbasierten Design. Dies erleichterte die Spektroskopie der schwächsten Übergänge in ¹³C⁴⁺, die sich durch die Hyperfeinstruktur aufspalten, erheblich. Die Auswirkung der hyperfein-induzierten Mischung auf die Übergangsfrequenzen wird untersucht und es werden Referenzwerte für Atomstrukturberechnungen angegeben. Der neue modellunabhängige δ⟨r²⟩¹²⸴¹³ = −0,1245(66) fm² wird mit Ergebnissen aus elastischer Elektronenstreuung, Spektroskopie myonischer Atome und ab initio Kernstrukturrechnungen verglichen. In Kombination mit den vorhandenen experimentellen Ergebnissen für ¹²C wird der absolute Kernladungsradius von ¹³C bestimmt. Die ausführliche Analyse der Fluoreszenzspektren und möglicher systematischer Unsicherheiten wurde durch das neue Python-Paket qspec ermöglicht, das im Rahmen dieser Arbeit für Simulationen und Datenanalyse rund um die Laserspektroskopie entwickelt wurde. Das Paket wurde ausgiebig während mehrerer Strahlzeiten an GSI, CERN/ISOLDE und ANL getestet, wo es durch eine detaillierte Live-Datenanalyse und Simulationen wesentlich zu Entscheidungsprozessen beitrug. Neben der Analyse von ¹³C⁴⁺ wird als Ergänzung noch eine Untersuchung von Quanteninterferenzeffekten und optischem Populationstransfer in der Hyperfeinstruktur von ⁸⁷Sr⁺ im Anhang dieser Arbeit vorgestellt.