In dieser Doktorarbeit definieren und untersuchen wir zwei Typen von Greenfunktionen auf zu reell-quadratischen Zahlkörpern assoziierten Hilbertschen Modulflächen mit logarithmischen Singularitäten entlang von Hirzebruch-Zagier-Divisoren. Dies sind zum einen die automorphen Greenfunktionen, ursprünglich eingeführt von Bruinier, und zum anderen die Kudla-Greenfunktionen, die auf Kudla zurückgehen. Wir berechnen zugehörige Fourierentwicklungen, untersuchen das Wachstum am Rand, erhalten Integrierbarkeitsaussagen und bestimmen zugehörige Integrale. Speziell für die automorphen Greenfunktionen finden wir eine wertvolle Zerlegung in glatte Funktionen mit vielerlei Anwendungen, aus denen sich erst in Summe die logarithmischen Singularitäten bilden.

Bei der Untersuchung der Kudla-Greenfunktionen stellen wir fest, dass diese nicht in die von Burgos Gil, Kramer und Kühn verallgemeinerte arithmetische Schnitttheorie passen, was an deren zu starkem Wachstum an den Spitzen liegt. Daraufhin stellen wir eine Modifikation vor, die das störende Wachstum mithilfe einer Teilung der Eins am Rand in einer solch eleganten Weise abzieht, dass die resultierenden Funktionen zum einen tatsächlich Greenfunktionen im Sinne von Burgos Gil, Kramer und Kühn sind, und zum anderen die erzeugende Reihe über die abgezogenen Störterme modular ist. Dies benutzen wir, um unser Hauptresultat, nämlich die Modularität der erzeugenden Reihe der arithmetischen Hirzebruch-Zagier-Divisoren versehen mit den modifizierten Kudla-Greenfunktionen, zu beweisen. Dazu führen wir diese Modularität auf die bereits von Bruinier, Burgos Gil und Kühn gezeigte Modularität der erzeugenden Reihe der arithmetischen Hirzebruch-Zagier-Divisoren versehen mit den automorphen Greenfunktionen zurück.