Das Forschungsgebiet dieser Arbeit ist die operator-algebraische oder nicht-kommutative Wahrscheinlichkeitstheorie und insbesondere nicht-kommutative Markovprozesse, die die zeitliche Entwicklung einer großen Klasse von offenen Quantensystemen beschreiben. Eine übliche Methode in der nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie ist es, zu untersuchen wie etablierte Werkzeuge aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie auf die operator-algebraischen Methoden verallgemeinert werden können.

In dieser Arbeit wenden wir diese Philosophie auf die Theorie topologischer Markov-Prozesse an, die ein Konzept aus der symbolischen Dynamik sind. In diesem Zusammenhang bedeutet das Wort "topologisch", dass wir nur beschreiben, welche Trajektorien oder Folgen von Systemzuständen bei gegebener Dynamik möglich sind, ohne die Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Trajektorie zu erfassen.

Wir übertragen diese Idee auf die Theorie der nicht-kommutativen Markov-Prozesse, indem wir Quantensysteme durch ihre topologischen Eigenschaften beschreiben. Dadurch erhalten wir eine nicht-deterministische, aber nicht-probabilistische Beschreibung der Dynamik. Wir zeigen, dass sich viele üblicherweise betrachtete stochastische Eigenschaften einer solchen Dynamik, insbesondere diejenigen, die für das asymptotische Verhalten des Systems relevant sind, vollständig aus dieser topologischen Beschreibung ableiten lassen.

Das zentrale neue Konzept dieser Arbeit sind Reach Maps, Abbildungen auf den orthogonalen Projektionen einer Algebra, die das topologische Wesen vollständig positiver Operatoren erfassen. Sie erweisen sich als eine nützliche konkrete Darstellung des zuvor vagen Konzepts eines "topologischen Markov-Operators", nach dem wir gesucht haben. Reach Maps kodieren, welche Ereignisfolgen bei gegebener Dynamik möglich sind, und sind genau die richtigen Morphismen, um eine Kategorie zu bilden, in der wir nichtdeterministische topologische Dynamik ausdrücken können.

Um Reach Maps zu definieren, wenden wir Methoden aus der nicht-kommutativen Topologie an, die die universelle einhüllende Von-Neumann-Algebra verwendet, um Methoden der Von-Neumann-Algebren auf C*-Algebren anzuwenden und maßtheoretische und topologische Objekte näher zueinander bringt. Wir passen diese Theorie an unser Anliegen an, indem wir einige ihrer Grundlagen verallgemeinern, um andere einhüllende Von-Neumann-Algebren als die universelle zuzulassen.

Neben Definitionen für nicht-kommutative topologische Dynamik in Form von Reach Maps und einer topologischen Markov-Bedingung sind die wichtigsten Resultate dieser Arbeit eine Charakterisierung von Reach Maps über Doppelverhältnisse aus der projektiven Geometrie, die Anwendung von Perron-Frobenius-Theorie auf Reach Maps und die Entdeckung der überraschend eleganten Struktur von Reach Maps bedingter Erwartungen.