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Involutions of Kac-Moody groups

Horn, Max (2009)
Involutions of Kac-Moody groups.
Technische Universität Darmstadt
Ph.D. Thesis, Primary publication

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Involutions of Kac-Moody groups
Language: English
Referees: Gramlich, PD dr. Ralf ; Mühlherr, Prof. Dr. Bernhard ; Neeb, Prof. Dr. Karl-Hermann
Date: 9 September 2009
Place of Publication: Darmstadt
Date of oral examination: 17 April 2009
Abstract:

Goal of the present work is the study of involutory automorphisms and their centralizers of reductive algebraic groups and of split Kac-Moody groups, outside of characteristic 2. The groups in question have in common that they admit a so-called twin BN-pair (B_+, B_-, N) and an associated so-called twin building C=(C_+, C_-, δ^*). Let G be such a group. An involutory automorphism θ of G for which θ(B_+) is conjugate to B_- induces an almost isometry of the building C which interchanges the halves of the building and which we also denote by θ. This now enables us to apply the rich structure theory of buildings. An important tool for this is the so-called flip-flop system C_θ, consisting of all chambers c of C_+ for which the distance between c and θ(c) is maximal (with respect to the codistance of the twin building). Since C_θ is a subsystem of the building C_+, we can also regard it as a simplicial complex. The centralizer G_θ of θ in G acts naturally on this complex. In the present work we give criteria under which C_θ is a connected and pure simplicial complex. For this we reduce the global question to a problem in rank 2. We then solve this rank 2 problem for several important cases. Additional, we study the orbit structure of G_Simplizialkomplex on the building C and the flip-flop system C_θ. As applications, we obtain for example a parametrization of the double coset space G_θ\G/B_+; a generlization of the Iwasawa decomposition; and a proof that for certain locally-finite Kac-Moody groups, the centralizer C_θ is finitely generated. In closing we would like to remark that our results also apply to further groups with a root group datum as defined by Tits (like e.g. finite groups of Lie-type).

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Ziel der vorliegenden Arbeit ist das Studium involutorischer Automorphismen (und deren Zentralisatoren) reduktiver algebraischer Gruppen und zerfallender Kac-Moody-Gruppen, jeweils in Charakteristik ungleich 2. Die genannten Gruppen haben gemein, dass sie über ein Zwillings-BN-Paar (B_+, B_-, N) sowie ein hierzu assoziiertes Zwillingsgebäude C=(C_+, C_-, δ^*) verfügen. Sei G nun eine solche Gruppe. Ein involutorischer Automorphismus θ von G für den θ(B_+) zu B_- konjugiert ist, induziert einen fast-isometrischen Automorphismus des assoziierten Gebäudes C, welcher die beiden Gebäudehälften vertauscht und den wir ebenfalls mit θ bezeichnen. Dies ermöglicht es nun, die reichhaltige Strukturtheorie von Gebäuden anzuwenden. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei ist das so genannte Flipflop-System C_θ, bestehend aus allen Kammern c in C_+, für die c und θ(c) maximal weit entfernt sind (im Sinne der Kodistanz auf dem Zwillingsgebäude). Als Teilkammernsystem des Gebäudes C_+ kann man C_θ auch als simplizialen Komplex auffassen. Der Zentralisator G_θ von θ in G wirkt auf diesem Komplex auf natürliche Weise. In der vorliegenden Arbeit geben wir Kriterien an, wann C_θ ein zusammenhängender und reiner Simplizialkomplex ist. Hierbei wird diese globale Fragestellung auf die Untersuchung des Rang-2-Falles reduziert. Diese führen wir für einige der wichtigsten Klassen auch durch. Weiterhin untersuchen wir die Bahnstruktur von G_θ auf dem Gebäude C sowie auf dem Flipflop-System C_θ. Als Anwendung erhalten wir beispielsweise eine Parametrisierung des Doppelnebenklassenraumes G_θ\G/B_+; eine Verallgemeinerung der Iwasawa-Zerlegung; und einen Beweis, dass für bestimmte lokal-endliche Kac-Moody-Gruppen der Zentralisator G_θ endlich erzeugt ist. Abschließend sei erwähnt, dass sich unsere Resultate auf weitere Gruppen mit einem Wurzelgruppendatum im Sinne von Tits (wie z. B. endliche Gruppen vom Lie-Typ) erweitern lassen.

German
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-19001
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Algebra
Date Deposited: 15 Sep 2009 14:36
Last Modified: 07 Dec 2012 11:55
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/1900
PPN: 215847636
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