Involutions of Kac-Moody groups

Goal of the present work is the study of involutory automorphisms and their centralizers of reductive algebraic groups and of split Kac-Moody groups, outside of characteristic 2. The groups in question have in common that they admit a so-called twin BN-pair (B_+, B_-, N) and an associated so-called twin building C=(C_+, C_-, δ^*). Let G be such a group. An involutory automorphism θ of G for which θ(B_+) is conjugate to B_- induces an almost isometry of the building C which interchanges the halves of the building and which we also denote by θ. This now enables us to apply the rich structure theory of buildings. An important tool for this is the so-called flip-flop system C_θ, consisting of all chambers c of C_+ for which the distance between c and θ(c) is maximal (with respect to the codistance of the twin building). Since C_θ is a subsystem of the building C_+, we can also regard it as a simplicial complex. The centralizer G_θ of θ in G acts naturally on this complex. In the present work we give criteria under which C_θ is a connected and pure simplicial complex. For this we reduce the global question to a problem in rank 2. We then solve this rank 2 problem for several important cases. Additional, we study the orbit structure of G_Simplizialkomplex on the building C and the flip-flop system C_θ. As applications, we obtain for example a parametrization of the double coset space G_θ\G/B_+; a generlization of the Iwasawa decomposition; and a proof that for certain locally-finite Kac-Moody groups, the centralizer C_θ is finitely generated. In closing we would like to remark that our results also apply to further groups with a root group datum as defined by Tits (like e.g. finite groups of Lie-type).

Ziel der vorliegenden Arbeit ist das Studium involutorischer Automorphismen (und deren Zentralisatoren) reduktiver algebraischer Gruppen und zerfallender Kac-Moody-Gruppen, jeweils in Charakteristik ungleich 2. Die genannten Gruppen haben gemein, dass sie über ein Zwillings-BN-Paar (B_+, B_-, N) sowie ein hierzu assoziiertes Zwillingsgebäude C=(C_+, C_-, δ^*) verfügen. Sei G nun eine solche Gruppe. Ein involutorischer Automorphismus θ von G für den θ(B_+) zu B_- konjugiert ist, induziert einen fast-isometrischen Automorphismus des assoziierten Gebäudes C, welcher die beiden Gebäudehälften vertauscht und den wir ebenfalls mit θ bezeichnen. Dies ermöglicht es nun, die reichhaltige Strukturtheorie von Gebäuden anzuwenden. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei ist das so genannte Flipflop-System C_θ, bestehend aus allen Kammern c in C_+, für die c und θ(c) maximal weit entfernt sind (im Sinne der Kodistanz auf dem Zwillingsgebäude). Als Teilkammernsystem des Gebäudes C_+ kann man C_θ auch als simplizialen Komplex auffassen. Der Zentralisator G_θ von θ in G wirkt auf diesem Komplex auf natürliche Weise. In der vorliegenden Arbeit geben wir Kriterien an, wann C_θ ein zusammenhängender und reiner Simplizialkomplex ist. Hierbei wird diese globale Fragestellung auf die Untersuchung des Rang-2-Falles reduziert. Diese führen wir für einige der wichtigsten Klassen auch durch. Weiterhin untersuchen wir die Bahnstruktur von G_θ auf dem Gebäude C sowie auf dem Flipflop-System C_θ. Als Anwendung erhalten wir beispielsweise eine Parametrisierung des Doppelnebenklassenraumes G_θ\G/B_+; eine Verallgemeinerung der Iwasawa-Zerlegung; und einen Beweis, dass für bestimmte lokal-endliche Kac-Moody-Gruppen der Zentralisator G_θ endlich erzeugt ist. Abschließend sei erwähnt, dass sich unsere Resultate auf weitere Gruppen mit einem Wurzelgruppendatum im Sinne von Tits (wie z. B. endliche Gruppen vom Lie-Typ) erweitern lassen.