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Bose-Einstein Condensates in Curved Space-Time – From Concepts of General Relativity to Tidal Corrections for Quantum Gases in Local Frames

Gabel, Oliver (2019):
Bose-Einstein Condensates in Curved Space-Time – From Concepts of General Relativity to Tidal Corrections for Quantum Gases in Local Frames.
Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Bose-Einstein Condensates in Curved Space-Time – From Concepts of General Relativity to Tidal Corrections for Quantum Gases in Local Frames
Language: English
Abstract:

Measuring effects of General Relativity and beyond in the gravitational field of the Earth is a main goal of current research and cutting-edge technology. These effects, predicted by Einstein’s theory, already play an important role in everyday life, for example in enabling for precise positioning and time keeping in global satellite navigation systems, such as GPS and GALILEO. The breakthrough experimental realisation of Bose-Einstein condensation in 1995, some 70 years after Einstein’s prediction, has since established matter-wave interferometers in laboratories worldwide, in which laser pulses are used to coherently split, reflect, and recombine a Bose-Einstein condensate. While already enabling highly accurate quantum sensors for technological applications as accelerometers, gyroscopes, and gravity gradiometers, matter-wave interferometers with their unprecedented potential sensitivity are highly anticipated to serve as formidable quantum probes of fundamental physics. For this reason, concentrated international efforts are currently under way to develop this promising technology into robust and sensitive instruments. The German QUANTUS collaboration is at the forefront of this development, having demonstrated the first Bose-Einstein condensates and matter-wave interferometers in free fall, and having recently achieved the very first BEC in space on the sounding-rocket mission MAIUS-1 in early 2017. As its long-time goal, QUANTUS is aiming at a quantum test of Einstein’s famous Equivalence Principle, which is at the heart of General Relativity as a geometric theory of gravity. In this context, it is relevant to develop a precise description of free fall in Earth’s gravity beyond the usual Newtonian approximation, and thus to take into account the full reality of curved space-time in terms Einstein’s theory of General Relativity. In this thesis, we take a grand tour of the relevant concepts of Special and General Relativity and eventually apply these to the modelling of free falling quantum gases. We base our description on the experimentally relevant local inertial and non-inertial frames which we can think of as moving along with experiments in free fall, for example in a drop tower, or in satellites orbiting the Earth, such as the International Space Station ISS. Our main tool are Fermi normal coordinates attached to these frames, which provide a local curvature expansion around flat space-time that exhibits local tidal effects, and can thus be seen as an expansion around the Equivalence Principle. Being fairly under-represented in the literature, we extensively discuss these Fermi coordinates, as well as the so-called Riemann normal coordinates on which they are built. In particular, we provide a new combinatorial interpretation for the complicated polynomials in the Riemann tensor and its derivatives, which arise in the expansion for the tetrads and the metric in these coordinates. We finally apply these methods to the mean-field description of free falling Bose-Einstein condensates in the gravitational field of the Earth. Modelling the space-time curvature around our planet in terms of the Schwarzschild metric, we explicitly calculate the metric in Fermi coordinates for local inertial frames in free fall along purely radial geodesics, which approximates the experimental situation in a drop tower, as well as along circular equatorial geodesics which can be used to model the situation on satellites, such as the ISS. We then use these metrics in the non-linear Klein-Gordon equation which can be seen to generalise the usual Gross-Pitaevskii equation to curved space-time. Performing the non-relativistic limit, we obtain the different local tidal-type Newtonian and relativistic corrections and discuss their orders of magnitude.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie und darüber hinaus im Schwerkraftfeld der Erde zu messen ist ein Hauptziel gegenwärtiger Forschung und Technologieentwicklung. Diese Effekte spielen bereits eine wichtige Rolle im alltäglichen Lebens, so zum Beispiel bei der hochgenauen Orts- und Zeitbestimmung mit globalen Navigationssatellitensystemen wie GPS und GALILEO, die heutzutage allgegenwärtig sind. Die ebenfalls von Einstein vorhergesagte, und 1995 in einem technologischen Durchbruch erstmals experimentell realisierte Bose-Einstein-Kondensation, hat seither Materiewellen- Interferometer etabliert, in welchen Laser-Pulse genutzt werden um Bose-Einstein-Kondensate kohärent aufzuspalten, abzulenken und zu rekombinieren. Während diese bereits überaus erfolgreich als hochgenaue Sensoren zur Beschleunigungsmessung, als Gyroskope, sowie als Gravimeter zur Schwerefeldmessung eingesetzt werden, besitzen Materiewellen- Interferometer mit ihrer beispiellos hohen potentiellen Empfindlichkeit ein enormes Poten- tial als hervorragende Quantensonden für die fundamentale Physik. Aus diesem Grund werden weltweit gegenwärtig erhebliche Anstrengungen unternommen um diese vielversprechende Technologie zu robusten und hochempfindlichen Instrumenten zu entwickeln. Das deutsche QUANTUS-Projekt (QUANTengase Unter Schwerelosigkeit) steht an vorderster Front dieser Technologieentwicklung. QUANTUS konnte in den vergangenen Jahren sowohl die ersten Bose-Einstein-Kondensate, wie auch die ersten Materiewellen- Interferometer im freien Fall demonstrieren. Anfang 2017 gelang dann im Rahmen der MAIUS-1 Mission auf einer Höhenforschungsrakete die Erzeugung des weltweit ersten Bose-Einstein-Kondensats im Weltraum. Hierbei verfolgt QUANTUS das Ziel, mithilfe der gleichzeitigen Interferometrie an zwei verschiedenen atomaren Spezies, einen Quantentest des einsteinschen Äquivalenzprinzips durchzuführen, welches die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie als geometrische Theorie der Gravitation darstellt. Vor diesem Hintergrund ist es relevant eine Beschreibung von frei fallenden Experimenten im Gravitationsfeld der Erde zur Verfügung zu haben, die über die übliche newtonschen Näherung hinausgeht, und die die Realität der gekrümmten Raumzeit in einem vollständig kovarianten Ansatz innerhalb der allgemeinen Relativitätstheorie abbildet. In dieser Dissertation arbeiten wir detailliert die für eine solche umfassende Beschreibung relevanten Konzepte der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie heraus. Dabei bauen wir unsere sehr allgemeine Beschreibung auf die experimentell relevanten und durch sogenannte Vierbeine repräsentierten inertialen, bzw. nicht-inertialen lokalen Koordinatenrahmen auf, die man sich als mit dem Experiment mitfallende Koordinatensysteme vorstellen kann, so z. B. im Fallturm, oder auf Satelliten in der Erdumlaufbahn, wie beispielsweise der Internationale Raumstation ISS. Unser Hauptwerkzeug sind dabei mit diesen lokalen Rahmen verbundene Fermi-Normalkoordinaten, die eine lokale Krümmungsentwicklung um die flache Raumzeit darstellen, und somit als eine Entwicklung um das Äquivalenzprinzip verstanden werden können. Diese in der Forschungsliteratur stark unterrepräsentierten Fermi-Koordinaten, sowie die ihnen zugrundeliegenden sogenannten Riemannschen Normalkoordinaten, werden von uns ausgiebig diskutiert. Insbesondere können wir eine neue kombinatorische Interpretation für die bei der Entwicklung des Vierbeins und der Metrik in diesen Koordinaten auftretenden komplizierten Polynome im Riemann-Tensor und seinen Ableitungen angeben. Abschließend wenden wir diese von uns erarbeiteten allgemein-relativistischen Entwicklungen auf die mean-field-Beschreibung von im Schwerkraftfeld der Erde frei fallende Bose-Einstein-Kondensaten an. Dabei modellieren wir die von der Erde erzeugte Raumzeit-Krümmung durch die Schwarzschild-Metrik, für die wir die lokale Metrik in Fermi-Koordinaten entlang von radialen und Kreisgeodäten ausrechnen. Mithilfe einer relativistischen Verallgemeinerung der Gross-Pitaevskii-Gleichung in Form der nichtlineare Klein-Gordon-Gleichung und der Metrik in Fermi-Koordinaten, erhalten wir im nichtrelativistischen Grenzfall die verschiedenen lokalen gezeitenartigen newtonschen und relativistischen Korrekturen und diskutieren ihre Größenordnungen.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
Divisions: 05 Department of Physics > Institute of Applied Physics > Theorie kalter Quantengase, Quantenoptik, Technische Optik
Date Deposited: 27 Sep 2019 10:31
Last Modified: 27 Sep 2019 10:31
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-88090
Referees: Walser, Prof. Dr. Reinhold and Alber, Prof. Dr. Gernot
Refereed: 27 May 2019
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/8809
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