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On Stability of Falling Films: Numerical and Analytical Investigations

Albert, Christoph :
On Stability of Falling Films: Numerical and Analytical Investigations.
Technische Universität, Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2013)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: On Stability of Falling Films: Numerical and Analytical Investigations
Language: English
Abstract:

This work is concerned with falling films: Thin layers of liquid that run down vertical or inclined planes under the action of gravity. In particular, the formation of surface waves, as well as flow structures inside these waves, is studied.

The onset of waves is explained by classical hydrodynamic stability theory. Here, a flow is considered to be a superposition of a laminar, steady flow and a small perturbation. If all perturbations are damped for large times, the basic flow is considered stable and it is expected that it can be seen in the experiment. If, on the other hand, a perturbations exists which is amplified with time, the basic flow is unstable and can not be observed. On a falling film, the presence of amplified perturbations is indicated by the presence of visible surface waves.

In Chapter 1, the coordinate system and the governing equations are introduced. This work relies on the continuum mechanical model of conservation of mass and momentum, i.e. the Navier-Stokes equations. Additional effects are caused by the free surface of the film, which has, by means of capillary effects, an important influence on the evolution of the flow. In many situations, surface tension is not constant throughout the film surface. Pollutants can adsorb at the interface, which locally decrease surface tension. These pollutants are called surfactants. The local concentration of these surfactants is governed by an advection-diffusion equation inside the moving interface. This effect is taken into account in Chapters 1 and 2. The laminar basic flow, the so-called Nusselt profile, as well as the dimensionless parameters of the film, are introduced.

In Chapter 2, stability of the film is studied analytically. First, a system of equations which governs the time evolution of perturbations to the steady state is derived. In order to cope with the time-dependent domain on which the equations are defined, the domain is transformed to a time-independent reference domain by means of the so-called Beale transform. The transformed system is then linearized and written as an evolution equation. The linear operator governing this equation is called linearized stability operator. The rest of this Chapter is concerned with the associated resolvent problem and the spectrum of the stability operator. In this work, the resolvent problem is solved by a Fourier series approach in an L2-setting. First, unique solvability and regularity of the resolvent problem is shown under certain assumptions. Then, with the aid of energy methods, conditions on the dimensionless parameters are derived under which the flow is stable. These conditions are physically meaningful, and an explicit spectral bound is given.

The rest of this work is concerned with investigations of falling films without surfactant by means of direct numerical simulations. These are performed with the Volume-of-Fluid solver FS3D. In Chapter 3, the numerical method is introduced, and the influence of different approaches for the numerical discretization of capillary effects is studied. It is shown that simulations with the momentum conservative Continuum Surface Stress-model are not able to correctly represent the flow situation in a falling film. On the basis of comparisons to analytical and experimental results it is shown that simulations with the balanced Continuum Surface Force-model are a good approximation to the actual flow physics on falling films. The notion of balanced force surface tension is explained, and a reason is provided why there is no implementation of CSS with this property.

In Chapter 4, linear stability of falling films is investigated numerically. A new approach is presented, which is closely related to Arnoldi's algorithm for the eigensystem problem of large sparse matrices. The action of the evolution operator on a number of perturbations is determined by direct numerical simulation. An approximative eigensystem of the evolution operator can be determined by simulating a number of perturbations. The spectral mapping theorem, finally, allows the determination of an approximation to the spectrum of the linearized stability operator. In order to use the algorithm, linear algebra must be performed on the set of perturbations. Here, the intrinsic nonlinearity introduced by the free boundary makes this problematic. This problem is solved by a transformation of the flow state to a fixed reference domain by Beale's transform. The algorithm is validated by comparison to numerical, experimental and theoretical results. The advantage of this algorithm over classical methods is that non-parallel steady states can be treated. This property is used in order to investigate the influence of the inlet boundary.

Chapter 5 is concerned with flow phenomena in developed nonlinear waves. Water films in an oxygen atmosphere are simulated, and the transfer of oxygen into the liquid is studied. In particular, the influence of vortices in the film on local mass transfer rate is investigated. It is observed that the presence of vortices in the large roll waves has a qualitative influence on the oxygen distribution inside the film and the local transfer rates. Vortices inside the wave troughs, on the other hand, do not cause an effect like this.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Fallfilmen: Dünnen Flüssigkeitsfilmen, die unter dem Einfluss der Gravitation vertikale oder geneigte Wände herunterlaufen. Besonderes Augenmerk wird auf die Entstehung von Oberflächenwellen gelegt, sowie auf die Strömungsvorgänge innerhalb dieser Wellen. Das Einsetzen von Wellen wird durch klassische hydrodynamische Stabilitätstheorie erklärt. Die Grundidee hierbei ist, dass eine Strömung als Überlagerung einer laminaren, stationären Grundströmung und einer kleinen Störung gedacht wird. Findet für große Zeiten eine Dämpfung aller Störungen statt, so bezeichnet man die Grundströmung als stabil, und man erwartet, sie im Experiment zu sehen. Existiert hingegen mindestens eine Störung, die mit der Zeit angefacht wird, so liegt eine instabile Grundströmung vor, die sich im Experiment nicht beobachten lässt. Am Fallfilm ist die Existenz angefachter Störungen anhand der Anwesenheit von Wellen auf der Filmoberfläche leicht sichtbar. In Kapitel 1 wird das Koordinatensystem festgelegt, und die Gleichungen, die die Strömung beschreiben, werden angegeben. Die Arbeit beruht auf dem kontinuumsmechanischen Modell der Erhaltung von Masse und Impuls, den Navier-Stokes-Gleichungen. Zusätzliche wichtige Effekte ergeben sich durch die freie Oberfläche des Films, die aufgrund von Oberflächenspannungseffekten einen wichtigen Einfluss auf die Entwicklung der Strömung hat. In vielen Situationen ist die Oberflächenspannung nicht an jeder Stelle des Films gleichermaßen stark. Es können sich (erwünschte oder unerwünschte) Verunreinigungen an der Filmoberfläche ansammeln, die die Oberflächenspannung senken. Diese Verunreinigungen werden als Surfactant bezeichnet. Die lokale Konzentration dieser Verunreinigungen genügt einer Advektions-Diffusionsgleichung innerhalb der bewegten Filmoberfläche. Dieser Effekt wird in den Kapitel 1 und 2 berücksichtigt. Die laminare Grundströmung, das sogenannte Nusselt-Profil, wird angegeben, und es werden dimensionslose Kennzahlen eingeführt. In Kapitel 2 wird der analytische Zugang zur Stabilität von Fallfilmen verfolgt. Zunächst wird ein Gleichungssystem hergeleitet, das die zeitliche Entwicklung von Störungen der stationären Grundströmung beschreibt. Um das zeitveränderliche Gebiet, auf dem diese Gleichungen definiert sind analytisch behandeln zu können, wird das Gebiet mithilfe der sogenannten Beale-Transformation auf ein zeitunabhängiges Referenzgebiet transformiert, im Anschluss daran linearisiert und als Evolutionsgleichung geschrieben. Der lineare Operator, der in dieser Gleichung vorkommt, wird als linearer Stabilitätsoperator bezeichnet. Der Rest des Kapitels beschäftigt sich mit dem dazugehörigen Resolventenproblem, und dem Spektrum des Stabilitätsoperators. In der vorliegenden Arbeit wird das Resolventenproblem mithilfe der Fourierreihenentwicklung in einem L2-Setting gelöst. Zunächst wird, unter bestimmten Voraussetzungen, die eindeutige Lösbarkeit und die Regularität des Resolventenproblems gezeigt. Mithilfe von Energiemethoden können dann Bedingungen an die dimensionslosen Kenngrößen hergeleitet werden, unter denen die Strömung stabil ist. Die Bedingungen sind physikalisch sinnvoll, und es wird eine explizite Spektralschranke von hergeleitet. Der Rest der Arbeit befasst sich mit Untersuchungen von Strömungen ohne Surfactant anhand von direkten numerischen Simulationen. Diese werden mithilfe des Volume of Fluid-Solvers FS3D durchgeführt. In Kapitel 3 wird zunächst die verwendete numerische Methode eingeführt, und der Einfluss von verschiedenen Ansätzen zur numerischen Behandlung der Oberflächenspannung auf die Simulationsergebnisse wird untersucht. Es wird gezeigt dass Simulationen mit dem impulserhaltenden Continuum Surface Stress (CSS)-Verfahren nicht geeignet sind, die Strömungen im Fallfilm korrekt wiederzugeben. Anhand einer Reihe von Vergleichen mit theoretischen und experimentellen Daten wird gezeigt, dass Simulationen mit einem balanced Continuum Surface Force (CSF)-Ansatz die physikalischen Gegebenheiten in guter Näherung abbilden. Der Begriff der balanced force-Oberflächenspannung wird erklärt, und es wird ein Grund angegeben, warum bisher keine entsprechende Implementierung für CSS bekannt ist. In Kapitel 4 wird die lineare Stabilität von Fallfilmen numerisch untersucht. Dazu wird ein neues Verfahren entwickelt, das eng mit dem Algorithmus von Arnoldi zur Bestimmung des Eigensystems großer, dünn besetzter Matrizen verwandt ist. Die Wirkung des Evolutionsoperators auf Störungen wird mit Hilfe von direkten numerischen Simulationen bestimmt. Aus der Simulation einer Reihe von Störungen wird ein approximatives Eigensystem des Evolutionsoperators errechnet. Der Spektral-Abbildungssatz für die Matrix-Exponentialfunktion erlaubt schließlich die Bestimmung einer Näherung an das Spektrum des linearen Stabilitätsoperators. Um den Algorithmus verwenden zu können muss lineare Algebra auf der Menge der Störungen betrieben werden. Problematisch hierbei ist der freie Rand, der eine einfache Addition von Strömungszuständen zu verschiedenen Zeiten unmöglich macht. Dieses Problem wird durch die Transformation auf ein festes Referenzgebiet mithilfe der Beale-Transformation gelöst. Der Algorithmus wird durch Vergleiche mit numerischen, experimentellen und theoretischen Resultaten validiert. Der Vorteil des Algorithmus gegenüber klassischen Verfahren ist, dass auch nicht-parallele Grundströmungen behandelt werden können. Diese Eigenschaft wird eingesetzt, um den Einfluss des Einströmrandes zu untersuchen. Kapitel 5 beschäftigt sich mit den Strömungsvorgängen in entwickelten, nichtlinearen Wellen. Es werden Wasserfilme in einer Sauerstoffatmosphäre simuliert, und der Übergang von Sauerstoff in die Flüssigkeit durch die freie Grenzfläche wird untersucht. Besonderes Augenmerk wird auf den Einfluss von Wirbeln auf lokale Stoffübergangsraten gelegt. Es wird beobachtet, dass die Anwesenheit von Wirbeln in den großen Wellen einen qualitativen Einfluss auf die Sauerstoffverteilung im Film und die lokalen Stoffübergangsraten hat. Wirbel in den Wellensenken hingegen zeitigen keinen derartigen Effekt. German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 500 Naturwissenschaften
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Analysis
04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 27 Nov 2013 13:29
Last Modified: 27 Nov 2013 13:29
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-36652
Referees: Bothe, Prof. Dr. Dieter and Saal, Prof. Dr. Jürgen
Refereed: 14 August 2013
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/3665
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