Viele wissenschaftliche und industrielle Anwendungen werden von Simulationen unterstützt. Bei diesen Simulationen ist eine so gering wie mögliche Laufzeit bei einer vorgegebenen Genauigkeit gewünscht. Außer durch hohe Rechenleistung kann dies durch die Nutzung mehrerer Recheneinheiten mit Hilfe von Parallelisierung verringert werden. Derzeitiger Stand der Technik ist eine Parallelisierung im Raum, welche eine gute Effizienz aufweist.

Eine Parallelisierung erfordert jedoch unweigerlich Kommunikations- und Synchronisierungs-Overheads, welche zu einer maximalen Anzahl an Recheneinheiten führen, die effizient genutzt werden können. Ein Anwenden der Zeitparallelisierung zusätzlich zur räumlichen Parallelisierung kann die Effizienzgrenze allerdings weiter nach oben verschieben. Die Effizienz der Zeitparallelisierung ist jedoch abhängig von der Anwendung. Insbesondere Probleme, die vorwiegend hyperbolischer Natur sind, führen zu schlechter Effizienz. Anhand der viskosen Burgersgleichung, welche für kleine Viskositäten solch ein Problem ist, werden zwei Methoden der Zeitparallelisierung untersucht.

Zunächst wird die Möglichkeit einer Parallelisierung der Adomian decomposition method (ADM) untersucht. Da es sich bei der diskreten Version (DADM) der ADM um ein explizites Zeitschrittverfahren handelt, wird die Brauchbarkeit der DADM in einem Vergleich zur etablierten expliziten Runge-Kutta Methode (ERK) untersucht. Der Vergleich zeigt, dass beide Methoden einen sehr ähnlichen maximalen Zeitschritt zulassen. Bei ansteigender Verfahrensordnung führt die DADM zu einem größeren Fehler verglichen mit der ERK. Mit der gezeigten Parallelisierung der DADM ist es möglich die quadratische Laufzeitkomplexität auf eine lineare zu verringern. Dies führt dazu, dass die DADM mit der ERK konkurrieren kann. Insbesondere in Fällen mit hoher Verfahrensordnung ist die geringere Anzahl von Funktionsauswertungen die seriell ablaufen ein Vorteil der DADM. Verglichen mit der ERK ist es sehr einfach die Verfahrensordnung der DADM zu erhöhen.

Die zweite untersuchte Methode ist der Parareal Algorithmus. Hierbei wird ein besonderes Augenmerk darauf gelegt, welches Potential die implizite Runge-Kutta Methode mit einer semi-Lagrangian Advektion (SLIRK) als Groblöser des Parareal Algorithmus besitzt. Hierfür wird ein Vergleich mit der expliziten Runge-Kutta Methode (ERK) und der impliziten-expliziten Runge-Kutta Methode (IMEX) auf Basis von drei Benchmarks durchgeführt. Dieser Vergleich zeigt, dass die ERK in den getesteten Fällen kein Speedup Potential besitzt. Bei kleinen Viskositäten, welche der Gleichung einen vorwiegend hyperbolischen Charakter geben, ist die SLIRK klar im Vorteil gegenüber der IMEX, da die SLIRK stabiler ist. Auf Grund dieser Stabilität führen mehr Viskositäten zu Speedup Potential mit dem Parareal Algorithmus. Ein Verringern der Viskosität resultiert jedoch in einem Anstieg der Zahl der Iterationen zur Konvergenz von Parareal durch die Instabilität von Parareal. Im Fall der Burgersgleichung ohne Viskosität kann kein Potential für Speedup gefunden werden. Zusätzlich ist zu Erwähnen, dass die korrekte Vorhersage der Phase der Lösung wichtig ist für eine schnelle Konvergenz von Parareal.