Motivation für diese Doktorarbeit ist das Vorantreiben der Suche nach einem auf ei- nem realistisches Maschinenmodell basierenden, mathematisch rigorosen Rahmen für Effizienzüberlegungen über die Numerik partieller Differenzialgleichungen. Während die Berechenbarkeitstheorie für kontinuierliche Strukturen auf die meisten Situationen an- wendbar ist und beständig weiter entwickelt wird, ist es selbst in simplen Fällen oft noch unklar, welche Algorithmen als effizient zu gelten haben. In dieser Arbeit wird das Problem im Rahmen der Darstellungen zweiter Ordnung angegangen. Diese beziehen sowohl ihren Namen, als auch ihren Begriff von Polyno- mialzeitberechenbarkeit aus der Komplexitätstheorie der Funktionale auf dem Baire Raum, auch Komplexitätstheorie zweiter Ordnung genannt. Als Maschinenmodell die- nen Orakel-Turingmaschinen. Die Darstellungen zweiter Ordnung bieten viel Freiraum in der Gestaltung von Rechenmodellen und auch einen Grundstock an Konstruktuionen und behandelten Problemen. Insbesondere existiert eine etablierte Darstellung für das Rechnen mit stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall. Diese ist als die schwächste charakterisiert, die eine Auswertung in Polynomialzeit möglich macht. Als ein erster Schritt wird die schwächste Darstellung zweiter Ordnung für die in- tegrierbaren Funktionen angegeben, die es ermöglicht in Polynomialzeit Integrale aus- zuwerten. Unglücklicherweise erweist sich diese als unstetig und damit ungeeignet. Auf der Suche nach einer geeigneteren Darstellung werden die generellen Beschränkungen des Rechnens mit Darstellungen zweiter Ordnung auf metrischen Räumen untersucht. Dabei spielt die von Kolmogorov eingeführte metrische Entropie eines kompakten metrischen Raumes eine tragende Rolle. Es stellt sich heraus, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen dieser und der Existenz ‘kurzer’ Darstellungen gibt, bezüglich derer sich die Me- trik ‘schnell’ berechnen lässt. Um diese Resultate auf Räume integrierbarer Funktionen anwendbar zu machen, werden quantitative Versionen der Klassifikationsresultate kom- pakter Teilmengen, bekannt als die Sätze von Arzelà-Ascoli und Fr´ echet-Kolmogorov, untersucht. Auf die gewonnen Erkenntnisse gestützt wird eine Familie von Darstellungen für L p - Räume konstruiert. Es wird beweisen, dass diese berechenbar äquivalent zu den Darstel- lungen selbiger Räume als metrische Räume sind und gezeigt, dass sie die L p -Norm in Exponentialzeit berechnenbar machen. Dies ist auch die Komplexität der Supremums Norm auf den stetigen Funktionen. Eine ähnliche Konstruktion führt zu Darstellungen von Sobolev-Räumen. Die Berechenbarkeit unterschiedlichster Operationen in Polyno- mialzeit wird gezeigt, aus technischen Gründen nur für den eindimensionalen Fall. Abschließend wird ein Resultat präsentiert, das die Schwierigkeit des Berechnens des Lösungsoperators zum Dirichlet-Problem für Poisson’s Gleichung auf der Einheitskugel gleichsetzt mit der Schwierigkeit eine stetigen Funktion zu integrieren. Zum Verglei- chen von Schwierigkeiten von Aufgaben werden Polynomialzeit-Weihrauch-Reduktionen verwendet.