Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem numerischen Verfahren hoher Ordnung basierend auf der Diskontinuierlichen Galerkin Methode (DGM) zur Simulation inkompressibler Strömungen sowie Strömungen variabler Dichte bei kleinen Mach Zahlen. Die diskretisierten Gleichungen bilden ein nichtlineares Gleichungssystem, welche unter Verwendung des SIMPLE Algorithmus entkoppelt und iterativ gelöst werden. Dieses Verfahren wird sowohl für zeitunabhängige als auch zeitabhängige Probleme angewandt. Die Diskretisierung in der Zeit ist implizit, wobei sogenannte Rückwärtsdifferenzen verwendet werden. Die vorgeschlagene Methode wird in die institutseigene Softwarebibliothek BoSSS implementiert. Konvergenzraten in Zeit und Ort, Performance und Stabilität des entwickelten Lösers werden anhand zahlreicher Beispiele untersucht.

Im ersten Teil dieser Arbeit beschreiben wir die Diskretisierung sowie den Lösungsalgorithmus zur Simulation inkompressibler Strömungen. Für die örtliche Diskretisierung vergleichen wir die sogenannten mixed-order und equal-order Formulierungen. Bei der mixed-order Formulierung werden die Lösungen für die Geschwindigkeit durch Polynome der Ordnung k approximiert und für den Druck durch Polynome der Ordnung k-1. Bei der equal-order Formulierung besitzen alle Polynome die Ordnung k. Unter Verwendung der mixed-order Formulierung erhalten wir experimentelle Konvergenzraten von k+1 für die Geschwindigkeit und k für den Druck. Für die equal-order Formulierung ist eine Druckstabilisierung nötig. Die Konvergenzraten entsprechen näherungsweise jenen der mixed-order Formulierung, wobei die absoluten Fehler für die equal-order Formulierung kleiner sind. Die Stabilität des Verfahrens untersuchen wir anhand des Orr-Sommerfeld Problems. Schließlich validieren wir den Löser, indem wir die zwei- und dreidimensionale Zylinderumströmung untersuchen. Dieser Teil, welcher sich mit inkompressiblen Strömungen beschäftigt, basiert wesentlich auf zwei Artikeln, welche im Laufe dieser Arbeit entstanden sind: [KLEIN, B., KUMMER, F., OBERLACK, M. (2013): A SIMPLE based discontinuous Galerkin solver for steady incompressible flows. Journal of Computational Physics 237, 235–250] und [KLEIN, B., KUMMER, F., KEIL, M., OBERLACK, M. (2015): An extension of the SIMPLE based discontinuous Galerkin solver to unsteady incompressible flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids 77, 10, 571–589].

Im zweiten Teil dieser Arbeit erweitern wir den Löser zur Simulation von Strömungen variabler Dichte bei kleinen Mach Zahlen. In einem Zwischenschritt entwickeln wir einen Löser zur Simulation von Mehrphasenströmungen. Dabei wird die physikalisch scharfe Grenzfläche zwischen zwei Phasen durch eine glatte Übergangsfunktion approximiert. Weiterhin wird die Oberflächenspannung vernachlässigt. Im nächsten Schritt wird die Simulation von sogenannten low-Mach Strömungen behandelt. Grundlage dieser Simulationen bilden die low-Mach Gleichungen, welche eine Approximation der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen für kleine Mach Zahlen sind. Nach dem besten Wissen des Autors ist dies die erstmalige Anwendung der Diskontinuierlichen Galerkin Methode zur numerischen Lösung der low-Mach Gleichungen. Zur örtlichen Diskretisierung verwenden wir die mixed-order Formulierung. Verschiedene Testfälle demonstrieren die hohe Genauigkeit der Methode auch für Mehrphasenströmungen und low-Mach Strömungen.