Kurzfassung der Arbeit

In der vorliegenden Dissertation wird ein Verfahren zur Erzeugung hochpräziser, randangepasster Gitter vorgestellt und im Rahmen der Diskontinuierlichen Galerkin (DG) Methode angewendet. Im Gegensatz zu den meisten anderen Gittergeneratoren erzeugt das vorgestellte Verfahren ein Gitter, welches ausschließlich aus vierseitigen oder hexaedrischenElementen besteht. Die hohe Qualität der Randapproximation wird mittels gekrümmter Elemente hoher Ordnung erreicht. Die erzeugten Gitter sind bestens für den Einsatz von numerischen Methoden höherer Ordnung geeignet. Dies gilt insbesondere für die DG Methode, da große Teile des Gitters vollständig strukturiert sind und zugleich die Ordnung der Geometrierepräsentation der hohen Ordnung der numerischen Methode entsprechen kann.

Die Gittererzeugung erfolgt in zwei Schritten. Zunächst wird ein inneres Volumen ausgewählt, welches mittels eines vollständig strukturierten kartesischen Gitters abgebildet wird. Im Anschluss werden alle eingebetteten Objekte sowie die Randflächen mittels einer Pufferschicht mit dem inneren Gitter verbunden. Innerhalb dieser Schicht werden gekrümmte Elemente hoher Ordnung verwendet, wodurch eine hohe Approximationsgenauigkeit nicht ebener Objekte und Ränder erzielt wird. Die resultierenden Gitter sind optimal für die Anwendung numerischer Methoden hoher Ordnung geeignet, da einerseits eine hohe Effizienz durch die kartesische Struktur im Inneren und andererseits eine hohe Genauigkeit, selbst in Anwesenheit gekrümmten Objekte und Ränder, gegeben ist.

Nach der Beschreibung des Gittergenerierungsalgorithmus, wird die Diskontinuierliche Galerkin Methode für die Maxwellschen Gleichungen beschrieben. Die DG Methode erlaubt die Verwendung von Basisfunktionen beliebig hoher Ordnung. Damit kann für hinreichend glatte Lösungen exponentielle Konvergenz des Fehlers bezüglich der Anzahl der Freiheitsgrade erreicht werden. Es wird anhand von Beispielen gezeigt, dass mit der DG Methode und dem in dieser Arbeit vorgestellten Gittergenerierungsverfahren exponentielle Konvergenz für nicht-geradlinig berandete Rechengebiete erreicht werden kann. Weiterhin wird exemplarisch für einen Resonator gezeigt, dass die mittels Fouriertransformation eines Zeitsignals erhaltenen Spektren frei von nicht-physikalischen Eigenwerten sind.