In dieser Arbeit studieren wir Greensche Funktionen auf Modulkurven bezüglich der kanonischen Metrik, die aus der Arakelov-Theorie stammen. Sei Γ eine Fuchssche Untergruppe von PSL2 (R) und H die obere Halbebene. Dann ist X = Γ\H konform äquivalent zu einer nicht-kompakten Riemannschen Fläche. Die kanonische Greensche Funktion gcan (z, w) ist eine Funktion von z, w ∈ X (z ≠ w), die eindeutig charakterisiert wird durch die Differentialgleichung d z d cz gcan (z, w) + δw (z) = μcan (z), wobei δw (z) die Dirac-Delta-Distribution ist, und gcan (z, w) die Normierungsbedingung ∫x gcan (z, w) μcan (z) = 0 für w ∈ X erfüllt. In dieser Arbeit beweisen wir einige bekannte asymptotische Schranken für die zu Γ0(N ), Γ1(N ) und Γ(N ) assoziierte kanonische Greensche Funktion neu. Die Schranke für die kanonische Greensche Funktion zu Γ0(N ) (mit N quadratfrei) wurde zuerst von A. Abbes, P. Michel, und E. Ullmo bewiesen. Wir beweisen das Resultat mithilfe eines anderen Ansatzes, indem wir hyper- bolische Wärmekerne benutzen. Wir schreiben die Differenz der hyperbolischen Greenschen Funktion und der kanonischen Greenschen Funktion, ghyp (z, w) − gcan (z, w), in Termen von Integralen, die den hyperbolischen Wärmekern Khyp (t; z, w) (t ∈ R >0 ; z, w ∈X) enthalten. Im Anschluss beweisen wir, dass die kanonische Greensche Funktion an zwei nicht äquivalenten Spitzen einer kofiniten Fuchsschen Untergruppe durch Streuungskonstanten, Kronecker’sche Grenzfunktionen, die Selberg-Zeta-Konstante, etc., beschränkt werden kann. Dann betrachten wir die wichtigsten Kongruenzuntergruppen Γ0(N ), Γ1(N ) und Γ(N ) als Beispiele kofiniter Fuchsscher Untergruppen. Zudem können wir unter Verwendung des neuen Ansatzes neue Resultate beweisen. Im Fall Γ0(N ) können wir die Voraussetzung, dass N quadrat-frei ist, fallen lassen. Wir beweisen weiter eine asymptotische Schranke für die kanonische Greensche Funktion einer allgemeinen Kongruenzuntergruppe. Man beachte, dass der Ansatz des hyperbolischen Wärmekerns zuerst durch J. Jorgenson, J. Kramer eingeführt und danach auch von A. Aryasomyajula studiert und weiter ausgebaut wurde.