Die Dissertation untersucht das Entstehen von kollektivem Verhalten in großzahligen Multiagentensystemen. Beispiele für solche Dynamik sind ubiquitär. Die bekanntesten darunter sind makroskopische Phänomene wie Vogelschwärme, Fischschwärme und Insektenschwärme. Zu anderen verbreiteten Manifestationen kollektiver Dynamik auf der Makroskala gehören Schafherden, Menschenmassen, Roboterschwärme usw. Auf der Mikroskala finden wir häufig geordnete Bewegung in biologischen Systemen wie etwa Bakteriensuspensionen und Zellschichten, sowie in nicht-biologischen Systemen wie etwa geschüttelte granulierte Stäbe und kolloidale Partikel. Eines der faszinierenden Merkmale aller genannten Systeme ist, dass sie aus Bestandteilen völlig unterschiedlicher Natur bestehen, aber dennoch ein qualitativ ähnliches Verhalten als Ganzes erzeugen. Diese Bestandteile haben eine gemeinsame Eigenschaft, nämlich dass sie in der Lage sind, sich selbst anzutreiben, indem sie entweder eine intrinsische Energiequelle nutzen oder diese aus der Umgebung verbrauchen. Solche Systeme werden allgemein als aktive Materie bezeichnet. Unsere Vorgehensweise zur Untersuchung von aktiven Materie basiert in erster Linie auf Theorien nichtlinearer dynamischer Systeme und der statistischen Physik. In unserer Forschung legen wir besonderen Wert auf die Nonlokalität der Interaktionen. Das sind nämlich die Interaktionen, die auf Zwischenbereichen in Bezug auf die Systemgröße definiert sind, im Gegensatz zu engsten Nachbar- und All-to-All-Interaktionen.

Der erste Teil dieser Dissertation befasst sich mit der Analyse von Aktive-Materie-Systemen im Hinblick auf Partikelmodelle finiter Größe. Jedes Teilchen dient als Abstraktion für einen zugrundeliegenden Bestandteil, z.B. einen der oben beschriebenen, und kann als eine Sammlung von Variablen verstanden werden, die die relevanten Informationen des Teilchen beschreiben, z.B. seine Position, Geschwindigkeit, Orientierung usw. Anschließend wird die Bewegung eines Teilchens mit nichtlinearen Differentialgleichungen beschrieben. An diesem Punkt wird eine Unterscheidung getroffen. Zunächst kann das resultierende kollektive Verhalten eine Folge der intrinsischen, deterministischen nichtlinearen Dynamik selbst sein. In diesem Fall wird die Bewegung eines Teilchens mit gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben, und wir verwenden die Werkzeuge nichtlinearer dynamischer Systeme, um die resultierende Bewegung zu charakterisieren. Dazu gehört die Beschreibung von Fixpunkten, periodischen Bahnen und Attraktoren, von denen jeder einem bestimmten kollektiven Bewegungsmuster entspricht, sowie von Bifurkationen, die uns Einsicht in ihre Stabilität verleihen. Zweitens sind kollektive Phänomene in der natürlichen Umgebung zwangsläufig verschiedenen internen und externen Störungen unterworfen. Um dies zu berücksichtigen, werden Gleichungen der Teilchenbewegung verallgemeinert, um stochastische Kräfte einzubeziehen. Auf diese Weise werden die Teilchen als stochastische Prozesse modelliert und ihre zeitliche Entwicklung wird mit stochastischen Differentialgleichungen beschrieben. Die wichtige Frage in der Theorie von aktiven Materie ist die Stabilität der kollektiven Bewegung gegenüber Rauschen und Phasenübergänge zwischen verschiedenen kollektiven Bewegungsmustern.

Im zweiten Teil der Dissertation wird die Kontinuumsbeschreibung großskaliger interagierender Mehrteilchensysteme diskutiert. Wenn die Anzahl der Partikel groß wird, wird die Beschreibung ihrer Dynamik in Form von Partikelmodellen finiter Größe ineffizient. Um in solchen Fällen eine effizientere Systembeschreibung zu finden, beobachten wir, dass, wenn die Anzahl der Partikel zunimmt, sie die interessierende Domäne feiner abdecken und unter einer geeigneten Skalierung das gesamte Gebiet im Grenzfall der unendlichen Populationsgröße abdecken. Wir realisieren dies, indem wir von einem statistischen Ansatz ausgehen, in dem wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, ein Teilchen an einem bestimmten Punkt des Phasenraums zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden. In einem solchen Grenzfall wird die kollektive Bewegung von wechselwirkenden Mehrteilchensystemen durch (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktionen oder allgemeiner durch (Wahrscheinlichkeits-)Maße beschrieben. Ihre zeitliche Entwicklung wird durch partiellen Differentialgleichungen beschrieben, die im Zusammenhang mit wechselwirkenden Mehrteilchensystemen nichtlineare Integralterme beinhalten. Es existieren zwei Arten von Kontinuumsbeschreibungen der aktiver Materie, die wir verwenden. Die erste ist die kinetische. Sie befasst sich mit der Beschreibung eines Systems in Form einer Dichtefunktion, die von allen Phasenraumvariablen abhängt. Die zweite Art der Kontinuumsbeschreibung ist die hydrodynamische. Diese Theorie beschreibt ein Aktive-Materie-System mit einer Menge von einer kleinen Anzahl von Feldern, die im Gegensatz zur kinetischen Theorie nur von räumlichen Informationen abhängen. Beispielsweise berücksichtigt man oft Felder, die die räumliche Verteilung von Teilchen, Momenta, polaren oder nematischen Ordnungen beschreiben.

Der dritte Teil der Dissertation befasst sich mit der Entwicklung numerischer Schemata, die sich mit Kontinuum-Grenzgleichungen interagierender Mehrteilchensysteme befassen. Dabei handelt es sich um nichtlineare partielle Integro-Differentialgleichungen, die aufgrund ihrer Komplexität eine dedizierte Analyse erfordern. Die von uns entwickelten numerischen Schemata berücksichtigen Eigenschaften der Näherungslösung wie etwa Positivitätserhaltung, physikalische Erhaltungsgrößen und freie Energiedissipation. Mit einem solchen numerischen Schema untersuchen wir das wahre Kontinuum-Grenzverhalten der ursprünglichen Partikelmodelle endlicher Größe sowie die damit verbundenen Phasenübergänge ohne endliche Größeneffekte.

Der vierte Teil der Dissertation umfasst die experimentellen Arbeiten zum Schwärmen von \textit{B. subtilis} als kontrolliertes System von \textit{in vitro} aktiven Materie. Dieser Teil umfasst die Vorbereitung und Durchführung von Experimenten, Bildverarbeitung, Multitarget Tracking und mathematische Modellierung der oben beschriebenen Art. Wir erstellen Protokolle für das Schwärmen von \textit{B. subtilis} in mikrofluidischen Polydimethylsiloxankanälen sowie auf Agarplatten, die einfach zu reproduzieren sind. Daraus ergibt sich eine Sequenz von Bildern pro Experiment, die wir anschließend Multitarget Tracking-Algorithmen aussetzen, um die Flugbahn jedes Bakteriums zu ermitteln. Dieses Wissen erlaubt es uns, Modelle zu konstruieren, die ein kollektives Verhalten ermöglichen, das dem natürlichen Aufbau näher kommt. Im Gegensatz zu den Standardmodellen für aktive Materie erfordert die Beschreibung von Bakterienschwärmen in einer begrenzten Umgebung die Berücksichtigung der physischen Form des Bakteriums. Dies wird oft durch die Modellierung eines Bakteriums als selbstangetriebener Stab erreicht.