In dieser Arbeit untersuchen wir numerische Methoden zur näherungsweisen Lösung von elektromagnetischen Feldern. Die Hauptmotivation ist die Anwendung in Teilchenbeschleunigern. In diesem Rahmen vergleichen wir zunächst die Effizienz verschiedener numerischer Methoden für die Berechnung von Partikeltrajektorien beim Entwurf eines magnetischen Quadrupols für das High-Luminosity LHC-Projekt und wir analysieren die Verwendung eines spezifischen Vektorpotentials zur Reduzierung der Berechnungskosten. Die Ergebnisse dieses ersten Vergleichs motivieren die anschließende Untersuchung der Genauigkeit der numerischen Näherungen der Felder. Wir entwickeln ein neues Verfahren zur Diskretisierung des magnetischen Skalarpotentials in zylindrischen Gebieten und verwenden sie zur Feldrekonstruktion mittels Daten eines realistischen Messverfahrens basierend auf dem Satz von Bayes. Wir vergleichen die neue Methode mit der Rekonstruktion, die durch eine klassischeren Ansatz, der auf der Trennung der Variablen basiert, erhalten wurde. Wir diskutieren die Vorteile der neuen Diskretisierung und ihrer Anwendbarkeit auf den Rekonstruktionsprozess. Motiviert durch den Bedarf an effizienten Methoden zur Beschreibung elektromagnetischer Felder, dehnen wir die Studie auf weitere achsensymmetrische Probleme aus, die eine hohe praktische Relevanz in der Anwendung von Teilchenbeschleunigern haben. In diesem Zusammenhang schlagen wir die Verwendung einer Methode vor, die auf der Fourier-Basis und der IsoGeometrischen Analyse (IGA) basiert. Sie nutzt zum einen die durch die Symmetrie der Domäne erzielbare Recheneffizienz und zum anderen die exakte Darstellung der Geometrie und die guten Approximationseigenschaften, die durch IGA erreichbar sind. Darüber hinaus folgt die vorgeschlagene Methode dem de Rham-Komplex, der es garantiert, eine stabile Methode zu erhalten, die physikalisch korrekte Näherungen liefert. Wir wenden die Methode schließlich auf die Berechnung von Resonanzmoden eines beschleunigenden TESLA-Resonators an.