# The Navier-Stokes Equations with Low-Regularity Data in Weighted Function Spaces

### Schumacher, Katrin (2007)The Navier-Stokes Equations with Low-Regularity Data in Weighted Function Spaces. Technische Universität DarmstadtPh.D. Thesis, Primary publication

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: The Navier-Stokes Equations with Low-Regularity Data in Weighted Function Spaces
Language: English
Referees: Farwig, Prof.Dr. Reinhard ; Simader, Prof.Dr. Christian
Date: 4 May 2007
Date of oral examination: 1 February 2007
Abstract:

We consider the Navier-Stokes equations in a bounded domain. It is our aim to develop a solution theory which requires a regularity of the data that is as low as possible. This means at the same time that one obtains a class of solutions that is so large that the solutions possess a priori no weak derivatives. This in turn makes it necessary to introduce a notion of solutions that is more general than the one of weak solutions, the so-called very weak solutions. We study this problem in weighted Lebesgue-, Sobolev- and Bessel Potential spaces, where the weight function is taken from the class of Muckenhoupt weights. As a preparation we study the Laplace equation as well as the divergence equation in weighted function spaces. Moreover we construct a linear operator that extends functions defined on the boundary to functions defined on the domain. Next we investigate the linearized Stokes equations. In the stationary as well as in the instationary case one obtains the solvability with respect to the most general data that are considered in the work, by dualization of strong solutions. However, these solutions in general do not possess enough regularity to make their restriction to the boundary well-defined. Boundary values are meaningful only after a restriction to data that can be decomposed to a distribution on the domain and a distribution on the boundary. With the help of complex interpolation between the very weak and the strong solutions the solution theory of stationary and instationary Stokes equations can be extended to weighted Bessel potential spaces. This in turn requires a characterization of the interpolation spaces of the corresponding spaces of data and solutions. Finally we examine the nonlinear Navier-Stokes equations. In the stationary as in the instationary case one obtains existence and uniqueness of solutions for small data. In the instationary case this smallness can be realized by restricting the problem to a short time interval.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Wir betrachten die Navier-Stokes Gleichungen in einem beschränkten Gebiet. Dabei ist es unser Ziel, eine Lösungstheorie zu entwickeln, die eine möglichst geringe Regularität der Daten voraussetzt. Das bedeutet gleichzeitig, dass man eine große Lösungsklasse erhält, in welcher die Lösungen a priori keinerlei schwache Ableitungen besitzen. Dies wiederum macht es nötig, einen neuen Lösungsbegriff einzuführen, der allgemeiner ist als der der schwachen Lösung, die sogenannte sehr schwache Lösung. Dieses Problem untersuchen wir in gewichteten Lebesgue-, Sobolev- und Besselpotentialräumen, wobei die Gewichtsfunktion jeweils aus der Klasse der Muckenhouptgewichte stammt. Als Vorbereitung wird die Lösbarkeit der Laplacegleichung sowie der Divergenzgleichung in gewichteten Räumen bewiesen. Desweiteren wird ein linearer Operator konstruiert, der auf dem Rand des Gebiets definierte Funktionen zu Funktionen fortstzt, die auf dem Gebiet definiert sind. Als nächstes beschäftigen wir uns mit den linearen Stokes Gleichungen. Im stationären wie im instationären Fall erhält man die Lösbarkeit zu den allgemeinsten Daten, die hier betrachtet werden, durch Dualisierung der starken Lösungen. Diese Lösungen weisen jedoch im allgemeinen so wenig Regularität auf, dass ihre Einschränkung auf den Rand nicht mehr wohldefiniert ist. Wohldefinierte Randbedingungen erfordern eine Einschränkung auf solche Daten, die sich in eine Distribution auf dem Gebiet und eine Distribution auf dem Rand des Gebiets zerlegen lassen. Mit Hilfe von komplexer Interpolation zwischen der sehr schwachen und der starken Lösung wird die Lösungstheorie der stationären und instationären Stokes Gleichungen auf gewichtete Besselpotentialräume übertragen. Dies setzt eine Charakterisierung der Interpolationsräume der Lösungsräume sowie der Räume der Daten voraus. Schließlich wenden wir uns den nichtlinearen Navier-Stokes Gleichungen zu. Sowohl im stationären als auch im instationären Fall erhalten wir Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen für kleine Daten. Im instationären Fall kann diese Kleinheit der Daten auch durch eine Beschränkung auf ein kurzes Zeitintervall realisiert werden.

German
Uncontrolled Keywords: Sehr Schwache Lösung
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Sehr Schwache LösungGerman
Navier-Stokes Equations, Very Weak Solutions, Weighted Function Spaces, Muckenhoupt WeightEnglish
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-8158
Classification DDC: 000 Generalities, computers, information > 000 Generalities
Divisions: 04 Department of Mathematics
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22