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Finite element mass lumping for H(div) and H(curl)

Radu, Bogdan (2022)
Finite element mass lumping for H(div) and H(curl).
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00021948
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Finite element mass lumping for H(div) and H(curl)
Language: English
Referees: Egger, Prof. Dr. Herbert ; Kanschat, Prof. Dr. Guido
Date: 2022
Place of Publication: Darmstadt
Collation: 144 Seiten
Date of oral examination: 31 March 2022
DOI: 10.26083/tuprints-00021948
Abstract:

In this work, we consider the efficient implementation of finite element approximations for porous media, poroelasticity, and wave propagation problems. This is conducted by using mass-lumping, an approximation technique that enables a faster inversion of the mass matrix. This method has been primarily used for discretizing wave propagation problems in H1, as it allows for the efficient application of explicit time-stepping schemes. Another example of the usage of mass-lumping is the mixed finite element discretization of porous medium flow. Here, mass-lumping is utilized to reduce the algebraic saddle-point structure to a symmetric positive definite system, which is a lot easier to solve. In this work, we specifically examine mass-lumping strategies for the functional spaces H(div) and H(curl). In the first part of this thesis, we investigate the discretization of porous medium flow and poroelasticity. We will analyze already existing first-order convergent methods with mass-lumping and propose extensions that have better convergence properties and are optimal in the number of degrees of freedom. We will complement this with a rigorous error analysis, which confirms the accuracy of the method. In the second part, we consider discretization techniques with mass-lumping for the acoustic wave equation in H(div) and for Maxwell's equations in H(curl). Specifically, we will propose first and second-order accurate methods. Moreover, we will propose a new technique for the first-order convergent method that will cut the number of degrees of freedom in half (or even more). For all the methods we propose, we also provide full error convergence analyses. Furthermore, all our results will be validated by numerical experiments.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der effizienten Implementierung von Finite-Elemente Verfahren für poröse Medien, Poroelastizität und Wellenausbreitung. Dies wird mittels mass-lumping realisiert, eine Approximationstechnik die das Invertieren von Massematrizen erheblich vereinfacht. Diese Methode taucht hauptsächlich in der Diskretisierung von Wellenpropagationsproblemen in H1 auf und ermöglicht eine schnellere Anwendung von expliziten Zeitschrittverfahren. Ein weiteres Themengebiet in dem mass-lumping eine Rolle spielt ist die Diskretisierung der Strömung in porösen Medien mittels gemischten Finite-Elementen. In diesem Kontext wird durch mass-lumping das resultierende algebraische Sattelpunktproblem zu einer symmetrisch positiv definiten Gleichung reduziert, die erheblich leichter zu lösen ist. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir speziell mass-lumping Strategien für die Diskretisierung in den Funktionenräumen H(div) und H(curl). Im ersten Teil dieser Arbeit widmen wir uns der Diskretisirung von porösen Medien sowie Poroelastizität. Wir werden in diesem Zusammenhang die bestehende Methode erster Ordnung mit mass-lumping untersuchen und Erweiterungen vorschlagen, die bessere Konvergenzeingeschaften besitzen und optimal in der Anzahl der Freiheitsgrade sind. Zudem werden wir eine rigurose Konvergenzanalyse präsentieren, die die Genauigkeit unserer Methoden belegt. In der zweiten Hälfte untersuchen wir Diskretisierungen mit mass-lumping für die akustische Wellengleichung in H(div) sowie für die Maxwell-Gleichungen in H(curl). Wir werden Methoden vorschlagen, die erste und zweite Ordnung konvergent sind. Zudem entwickeln wir eine neues Verfahren für die Methode erster Ordnung, die die Anzahl der Freiheitsgrade um die Hälfte (oder sogar mehr) reduziert. All diese Methoden werden mit einer vollen Konvergenzanalyse vorgestellt. Anschliessend werden wir unsere Resultate auch durch numerische Untersuchungen bestätigen.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-219485
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 16 Aug 2022 12:03
Last Modified: 09 Jun 2023 13:28
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/21948
PPN: 49834875X
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