Orthogonal Eisenstein Series of Singular Weight

Kiefer, Paul (2022):
Orthogonal Eisenstein Series of Singular Weight. (Publisher's Version)
Darmstadt, Technische Universität,
DOI: 10.26083/tuprints-00020368,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type:

Ph.D. Thesis

Status:

Publisher's Version

Title:

Orthogonal Eisenstein Series of Singular Weight

Language:

English

Abstract:

In this thesis we investigate (non-)holomorphic orthogonal Eisenstein series by using Borcherds' additive theta lift.

Therefore we start by looking at the boundary components of the orthogonal upper half-plane and its quotients by congruence subgroups. In particular we investigate the case of prime level and square-free level.

Afterwards we consider the additive theta lift of non-holomorphic vector-valued Eisenstein series with respect to the Weil representation of a lattice of signature (b⁺, b⁻). We will derive the meromorphic continuation and functional equation of the theta lifts. Moreover, we will calculate their Fourier expansion.

In the last part we will specialise to signature (2, l) and show, that additive theta lifts of non-holomorphic vector-valued Eisenstein series are non-holomorphic orthogonal Eisenstein series. This yields a new proof of their meromorphic continuation and functional equation. Moreover, we will investigate if the theta lift is injective or surjective. Afterwards we consider the holomorphic Eisenstein series by evaluating the non-holomorphic Eisenstein series at special values. Again, we investigate, if the theta lift is injective or surjective and show, that if the lattice splits two hyperbolic planes, then all holomorphic modular forms of singular weight κ = l/2 - 1, that are linear combinations of Eisenstein series on the boundary, can be written as theta lifts.

Alternative Abstract:

Alternative Abstract

Language

In dieser Doktorarbeit werden (nicht-)holomorphe orthogonale Eisensteinreihen mithilfe von Borcherds additiven Thetalift untersucht.

Dazu werden zunächst die Randkomponenten der orthogonalen Halbebene und ihrer Quotienten nach Kongruenzuntergruppen untersucht. Insbesondere der Fall von Primzahlstufe und quadratfreier Stufe wird behandelt.

Anschließend wird der additive Thetalift von nicht-holomorphen vektorwertigen Eisensteinreihen zur Weil-Darstellung eines Gitters der Signatur (b⁺, b⁻) betrachtet. Es wird die meromorphe Fortsetzung und Funktionalgleichung der Thetalifts gefolgert. Außerdem wird die Fourierentwicklung berechnet.

Im letzten Teil wird sich auf den Fall der Signatur (2, l) spezialisiert und gezeigt, dass die additiven Thetalifts von nicht-holomorphen vektorwertigen Eisensteinreihen selbst nicht-holomorphe orthogonale Eisensteinreihen sind. Für diese ergibt sich damit ein neuer Beweis der meromorphen Fortsetzung und der Funktionalgleichung. Außerdem wird der Thetalift auf Injektivität und Surjektivität untersucht. Anschließend werden die holomorphen Eisensteinreihen betrachtet, indem die nicht-holomorphen Eisensteinreihen an speziellen Werten ausgewertet werden. Auch hier wird der Thetalift auf Injektivität und Surjektivität untersucht und letztendlich gezeigt, dass wenn das Gitter zwei hyperbolische Ebenen abspaltet, alle holomorphen Modulformen singulären Gewichts κ = l/2 - 1, welche auf dem Rand linearkombinationen von Eisensteinreihen sind, als Thetalift geschrieben werden können.

German

Place of Publication:

Darmstadt

Collation:

123 Seiten

Classification DDC:

500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik

Divisions:

04 Department of Mathematics > Algebra > Automorphic Forms, Number Theory, Algebraic Geometry

Date Deposited:

28 Mar 2022 12:04

Last Modified: