In der Mathematik behandelt das Feld der nicht-kooperativen Spieltheorie den Wettbewerb zwischen mehreren Parteien, genannt Spieler. Jeder Spieler verfolgt eigene Ziele, was durch die Wahl von Strategievariablen in einem Optimierungsproblem dargestellt wird. Der Unterschied zu regulären Optimierungsproblemen ist, dass mehrere Optimierungsprobleme in der Spieltheorie gekoppelt sind. Die Spieler beeinflussen also die Probleme und somit die optimalen Strategien ihrer Gegner. Ein Lösungskonzept sind Nash-Gleichgewichte, welche von John Forbes Nash 1950/51 eingeführt wurden. Ein Nash-Gleichgewicht ist ein stabiler Punkt des Spiels, das heißt kein Spieler kann sich verbessern wenn die Variablen seiner Gegner festgehalten werden.

Eine zentrale Voraussetzung für die Existenz solcher Nash-Gleichgewichte ist die Konvexität der Optimierungsprobleme. Viele Anwendungen resultieren allerdings in nicht-konvexen oder nicht-glatten Problemen, für die die Existenz von Nash-Gleichgewichten nicht notwendigerweise gegeben ist. Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Frage, welche Ergebnisse ohne Konvexitätsannahme an die Probleme noch erzielt werden können.

Im ersten Teil der Dissertation werden Ergebnisse von Jong-Shi Pang und Gesualdo Scutari aus der Veröffentlichung "Nonconvex Games with Side Constraints'' zu nicht-konvexen Spielen erweitert. Wir ergänzen diese Ergebnisse um konvexe und nicht-konvexe Gleichungsnebenbedingungen und verallgemeinern alle Formulierungen auf generell konvexe Nebenbedingungen, welche in der ursprünglichen Veröffentlichung als polyedrisch angenommen werden. In der Arbeit wird eine detaillierte Übersicht der Zusammenhänge von verschiedenen Lösungskonzepten bezüglich zwei Formulierungen von Spielen ausgearbeitet. Wir zeigen, dass sogenannte Quasi-Nash-Gleichgewichte unter ähnlichen Bedingungen existieren wie in der Originalarbeit, wobei jedoch zusätzlich Constraint Qualifications erfüllt sein müssen. Weiterhin wird gezeigt, dass für die Existenz von Nash-Gleichgewichten zusätzlich zu den von Pang und Scutari genannten Voraussetzungen noch weitere Bedingungen an die Gradienten der Gleichungsnebenbedingungen erfüllt sein müssen. Abschließend untersuchen wir ein spezielles hierarchisches Spiel, für das sogenannte Epsilon-Quasi-Nash-Gleichgewichte eingeführt werden. Wir zeigen, dass diese gegen C-stationäre Punkte konvergieren, welche in unserem Fall auch Clarke-stationär sind.

Der zweite Teil der Dissertation beschäftigt sich mit einer Anwendung in der Nachrichtentechnik, bei der mehrere Nutzer von mobilen Endgeräten um die Ressourcen eines Servers konkurrieren. Hierbei versuchen die Nutzer Berechnungen von ihren mobilen Endgeräten auf den Server auszulagern, welcher jedoch eine begrenzte Kapazität hat. Falls ein Nutzer einen Teil seiner Berechnung auslagert, muss er auf die Fertigstellung der Berechnungen des Servers warten. Dies resultiert in sogenannten "vanishing constraints'' im zugehörigen Optimalitätsproblem, welche nicht-glatt und nicht-konvex sind. Wir zeigen, dass dieses Spiel ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht hat und geben einen effizienten Algorithmus an dieses zu berechnen. Es werden zwei Verallgemeinerungen des Spiels vorgestellt, wobei viele wesentliche Eigenschaften erhalten werden können.

Im dritten Teil betrachten wir ein hierarschisches, kapazitätsbeschränktes Cournot-Nash-Spiel, welches durch die Hierarchie auch nicht-konvex und nicht-glatt ist. Hierbei wählen Firmen im oberen Level Kapazitätsschranken und versuchen im unteren Level unter Wettbewerb maximalen Profit zu erwirtschaften, wobei die Kapazitätsschranken respektiert werden müssen. Nach einer detaillierten Sensitivitätsanalyse des unteren Levels leiten wir notwendige Optimalitätsbedingungen für Nash-Gleichgewichte des hierarchischen Spiels her. Ferner konstruieren wir einen Algorithmus und zeigen, dass dieser unter gewissen Voraussetzungen alle Nash Gleichgewichte des Spiels findet. Numerisch wird der Algorithmus anhand mehrerer Beispielprobleme getestet, welche hauptsächlich in der Modellierung von Gasmärkten Anwendung haben.