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Displacement of biased random walk in a one-dimensional percolation model

Lübbers, Jan-Erik (2019):
Displacement of biased random walk in a one-dimensional percolation model.
Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Displacement of biased random walk in a one-dimensional percolation model
Language: English
Abstract:

Suppose an ant is placed in a randomly generated, infinite maze. Having no orientation whatsoever, it starts to move along according to a nearest neighbour random walk. Now furthermore, suppose the maze is slightly tilted, such that the ant makes a step along the slope with higher probability than in the opposite direction. Tracking the ant's position, we are interested in the long-term behaviour of the corresponding random walk.

We study this model in the context that the maze is given by a one-dimensional percolation cluster. Depending on the bias parameter of the walk, its linear speed converges almost surely towards a deterministic value. This limit exhibits a phase transition from positive value to zero at a critical value of the bias. We investigate the typical order of fluctuations of the walk around its linear speed in the ballistic speed regime, and the order of displacement from the origin in the critical and subballistic speed regimes. Additionally, we show a law of iterated logarithm in the subdiffusive speed regime.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In Anlehnung an das Standardbeispiel für die einfache Irrfahrt betrachten wir das folgende Modell: Nach einer durchzechten Nacht findet sich eine betrunkene Person auf ihrem Nach-Hause-Weg aus unerfindlichen Gründen in einem unendlichen Irrgarten wieder. Aufgrund ihres Alkoholspiegels weiß die Person weder, an welchem Ort sie sich befindet noch wo sie sich vorher aufhielt, und so torkelt sie auf der Suche nach ihrer Wohnung durch das Labyrinth. Wir fassen den Weg des Betrunkenen als Irrfahrt in einem zufälligen Graphen auf und nehmen ferner an, dass die Irrfahrt einen Drift in eine bestimmte, fest gewählte Richtung aufweist. Ein Grund für diesen Drift könnte beispielsweise sein, dass das Labyrinth ein leichtes Gefälle in diese Richtung besitzt, wodurch der Betrunkene unwissentlich mit höherer Wahrscheinlichkeit bergab anstelle von bergauf torkelt. Wir betrachten dieses Modell für den Spezialfall, dass die Umgebung der Irrfahrt durch ein ein-dimensionales Perkolations-Cluster gegeben ist. Die lineare Geschwindigkeit der Irrfahrt konvergiert fast sicher gegen eine Konstante, welche deterministisch vom Drift-Parameter der Irrfahrt abhängt. Dieser Grenzwert ist für kleine Werte des Drifts strikt positiv, und es existiert ein kritischer Wert, sodass die Geschwindigkeit für alle Drift-Werte größer oder gleich diesem den Wert null annimmt. Im ballistischen Fall bestimmen wir die typische Größenordnung der Abweichung der Irrfahrt von ihrer linearen Geschwindigkeit. Des Weiteren bestimmen wir im kritischen und im subballistischen Fall die Größenordnung der Entfernung der Irrfahrt vom Ursprung. Außerdem zeigen wir im subdiffusiven Fall ein Gesetz des iterierten Logarithmus.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Stochastik
Date Deposited: 01 Apr 2019 09:02
Last Modified: 01 Apr 2019 09:02
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-85375
Referees: Betz, Prof. Dr. Volker and Meiners, Prof. Dr. Matthias
Refereed: 14 December 2018
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/8537
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