TU Darmstadt / ULB / tuprints

Stokes operator and stability of stationary Navier-Stokes flows in infinite cylindrical domains

Ri, Myong Hwan :
Stokes operator and stability of stationary Navier-Stokes flows in infinite cylindrical domains.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2006)

[img]
Preview
PDF
Diss_Ri.pdf
Available under Simple publication rights for ULB.

Download (585Kb) | Preview
Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Stokes operator and stability of stationary Navier-Stokes flows in infinite cylindrical domains
Language: English
Abstract:

infinite cylindrical domains have been attracting great attention due to its theoretical and practical significance. However, in most cases, stationary Navier-Stokes problems were dealt with whereas instationary Navier-Stokes problems have been less studied. The Lq-approach to instationary Navier-Stokes problems is very important and convenient to analyze existence, uniqueness as well as strong energy inequality and partial regularity for solutions; to this end, the study of the Stokes operator is fundamental. The aim of this dissertation is to get resolvent estimates, maximal regularity and boundedness of H∞-calculus of Stokes operators in infinite cylindrical domains and to apply them to the stability of stationary Navier-Stokes flows in infinite cylindrical domains. We start with a Stokes resolvent system in an infinite straight cylinder. The Stokes resolvent system on an infinite straight cylinder is reduced by the (one-dimensional) partial Fourier transform along the axis of the cylinder to a parametrized Stokes system with the Fourier variable as a parameter. Using the Fourier multiplier theory in weighted spaces we get estimates for the parametrized Stokes system with bound constants independent of parameters. Based on these estimates resolvent estimate and maximal regularity of the Stokes operator in weighted Lebesgue spaces on an infinite straight cylinder are shown using the techniques of operator-valued Fourier multiplier theory and Schauder decomposition in Banach spaces with UMD property. Next we consider the Stokes operator in general infinite cylinders with several exits to infinity. A resolvent estimate of the Stokes operator in Lq-space is obtained using cut-off techniques based on the result of generalized Stokes resolvent system in an infinite straight cylinder. In particular, the Stokes operator is shown to generate a bounded and exponentially decaying analytic semigroup in any Lq-space on a general infinite cylinder. Moreover, it is proved that the Stokes operator admits a bounded H∞-calculus in any Lq-space on an infinite cylinder with several exits to infinity. As an application of the obtained properties of the Stokes operator we study stability of stationary Navier-Stokes flows in infinite cylindrical domains. First, existence and uniqueness for stationary Navier-Stokes systems in infinite cylinders are shown. Then the exponential stability of the stationary Navier-Stokes flow is proved based on Lr-Lq estimates of the perturbed Stokes semigroup.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Gleichungen in unendlichen zylindrischen Gebieten haben aufgrund ihrer theoretischen und praktischen Bedeutung großes Interesse geweckt. Jedoch wurden in den meisten Fällen stationäre Navier-Stokes Probleme betrachtet, während instationäre Navier-Stokes Probleme weniger behandelt wurden. Der Lq-Zugang zu instationären Navier-Stokes Problemen ist sehr wichtig und geeignet zur Analyse von Existenz, Eindeutigkeit sowie starken Energieabschätzungen und partieller Regularität von Lösungen. Hierfür ist die Untersuchung des Stokes Operators fundamental. Das Ziel dieser Dissertation ist es, Resolventenabschätzungen, maximale Regularität und Beschränktheit des H∞-Kalküls für den Stokes Operator zu beweisen und dies auf die Stabilität des stationären Navier-Stokes Flusses in unendlichen zylindrischen Gebieten anzuwenden. Wir beginnen mit dem Stokes-Resolventen System in einem unendlichen geraden Zylinder. Das Stokes-Resolventen System in einem unendlichen geraden Zylinder wird durch (eindimensionale) partielle Fouriertransformation entlang der Achse des Zylinders zu einem parametrisierten Stokes System mit der Fouriervariablen als Parameter reduziert. Mit Hilfe von Fourier-Multiplikatoren Theorie in gewichteten Räumen erhalten wir Abschätzungen für das parametrisierte Stokes System mit Konstanten, die nicht von den Parametern abhängen. Auf der Basis dieser Abschätzungen werden Resolventenabschätzungen und maximale Regularität des Stokes Operators in gewichteten Lebesgue Räumen auf einem unendlichen zylindrischen Gebiet gezeigt. Hierfür werden Techniken aus der operatorwertigen Fourier-Multiplikatoren Theorie und Schauder Zerlegung in Banachräumen mit der UMD-Eigenschaft verwendet. Als nächstes betrachten wir den Stokes Operator in allgemeinen Zylindern mit mehreren Ausgängen nach Unendlich. Man erhält eine Resolventenabschätzung für den Stokes Operator in Lq-Räumen unter Verwendung von Abschneidetechniken basierend auf dem Resultat für das verallgemeinerte Stokes Resolventensystem in einem unendlichen geraden Zylinder. Insbesondere wird gezeigt, dass der Stokes Operator eine beschränkte und exponentiell fallende analytische Halbgruppe in jedem Lq-Raum auf einem allgemeinen unendlichen Zylinder erzeugt. Außerdem wird bewiesen, dass der Stokes Operator einen beschränkten H∞-Kalkül in jedem Lq-Raum auf einem unendlichen Zylinder mit mehreren Ausgängen nach Unendlich erlaubt. Als Anwendung der bewiesenen Eigenschaften behandeln wir die Stabilität von stationären Navier-Stokes Flüssen in unendlichen zylindrischen Gebieten. Zuerst werden Existenz und Eindeutigkeit für stationäre Navier-Stokes Systeme gezeigt. Anschließend werden exponentielle Stabilität des stationären Navier-Stokes Flusses mit Hilfe von Lr-Lq Abschätzungen der gestörten Stokes Halbgruppe bewiesen.German
Uncontrolled Keywords: Resolventenabschätzungen; maximale Regularität; H-Kalküls
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Resolventenabschätzungen; maximale Regularität; H-KalkülsGerman
resolvent estimate; maximal regularity; H-calculusEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22
Last Modified: 07 Dec 2012 11:51
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000686
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-6863
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Farwig, Prof. Dr. Reinhard and Hieber, Prof. Dr. Matthias
Advisors: Farwig, Prof. Dr. Reinhard
Refereed: 20 April 2006
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/686
Export:

Actions (login required)

View Item View Item