Gleichungen in unendlichen zylindrischen Gebieten haben aufgrund ihrer theoretischen und praktischen Bedeutung großes Interesse geweckt. Jedoch wurden in den meisten Fällen stationäre Navier-Stokes Probleme betrachtet, während instationäre Navier-Stokes Probleme weniger behandelt wurden. Der Lq-Zugang zu instationären Navier-Stokes Problemen ist sehr wichtig und geeignet zur Analyse von Existenz, Eindeutigkeit sowie starken Energieabschätzungen und partieller Regularität von Lösungen. Hierfür ist die Untersuchung des Stokes Operators fundamental. Das Ziel dieser Dissertation ist es, Resolventenabschätzungen, maximale Regularität und Beschränktheit des H∞-Kalküls für den Stokes Operator zu beweisen und dies auf die Stabilität des stationären Navier-Stokes Flusses in unendlichen zylindrischen Gebieten anzuwenden. Wir beginnen mit dem Stokes-Resolventen System in einem unendlichen geraden Zylinder. Das Stokes-Resolventen System in einem unendlichen geraden Zylinder wird durch (eindimensionale) partielle Fouriertransformation entlang der Achse des Zylinders zu einem parametrisierten Stokes System mit der Fouriervariablen als Parameter reduziert. Mit Hilfe von Fourier-Multiplikatoren Theorie in gewichteten Räumen erhalten wir Abschätzungen für das parametrisierte Stokes System mit Konstanten, die nicht von den Parametern abhängen. Auf der Basis dieser Abschätzungen werden Resolventenabschätzungen und maximale Regularität des Stokes Operators in gewichteten Lebesgue Räumen auf einem unendlichen zylindrischen Gebiet gezeigt. Hierfür werden Techniken aus der operatorwertigen Fourier-Multiplikatoren Theorie und Schauder Zerlegung in Banachräumen mit der UMD-Eigenschaft verwendet. Als nächstes betrachten wir den Stokes Operator in allgemeinen Zylindern mit mehreren Ausgängen nach Unendlich. Man erhält eine Resolventenabschätzung für den Stokes Operator in Lq-Räumen unter Verwendung von Abschneidetechniken basierend auf dem Resultat für das verallgemeinerte Stokes Resolventensystem in einem unendlichen geraden Zylinder. Insbesondere wird gezeigt, dass der Stokes Operator eine beschränkte und exponentiell fallende analytische Halbgruppe in jedem Lq-Raum auf einem allgemeinen unendlichen Zylinder erzeugt. Außerdem wird bewiesen, dass der Stokes Operator einen beschränkten H∞-Kalkül in jedem Lq-Raum auf einem unendlichen Zylinder mit mehreren Ausgängen nach Unendlich erlaubt. Als Anwendung der bewiesenen Eigenschaften behandeln wir die Stabilität von stationären Navier-Stokes Flüssen in unendlichen zylindrischen Gebieten. Zuerst werden Existenz und Eindeutigkeit für stationäre Navier-Stokes Systeme gezeigt. Anschließend werden exponentielle Stabilität des stationären Navier-Stokes Flusses mit Hilfe von Lr-Lq Abschätzungen der gestörten Stokes Halbgruppe bewiesen.