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# A high-order Discontinuous Galerkin solver for incompressible and low-Mach number flows

### Klein, Benedikt (2015):A high-order Discontinuous Galerkin solver for incompressible and low-Mach number flows.Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]  Preview
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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: A high-order Discontinuous Galerkin solver for incompressible and low-Mach number flows
Language: English
Abstract:

In this work, we present a high-order Discontinuous Galerkin Method (DGM) for simulating incompressible and variable density flows at low-Mach numbers. For steady cases, we apply the SIMPLE algorithm to solve the non-linear system in a segregated manner. For unsteady cases, the solver is implicit in time using backward differentiation formulae and the SIMPLE algorithm is applied to solve the non-linear system in each time step. The proposed method is implemented in the in-house software library BoSSS. The solver is extensively tested with respect to temporal and spatial convergence rates, performance and stability by simulating various test cases.

In the first part of this work, we describe the discretization and algorithm for incompressible flows. Using a mixed-order formulation for the spatial discretization, we obtain convergence rates of k+1 for velocity and k for pressure for various test cases, where k and k-1 are the orders of the approximation polynomials for velocity and pressure, respectively. Applying pressure stabilization for the equal-order formulation, the convergence rates are approximately the same, while the absolute error is smaller. By simulating the Orr-Sommerfeld problem we investigate the stability of the proposed method. The solver is validated by studying the two- and three-dimensional flow past a square cylinder. Main parts of this work concerning the solver and numerical results for incompressible flows have been published before by the author of this thesis in [KLEIN, B., KUMMER, F., OBERLACK, M. (2013): A SIMPLE based discontinuous Galerkin solver for steady incompressible flows. Journal of Computational Physics 237, 235–250] and [KLEIN, B., KUMMER, F., KEIL, M., OBERLACK, M. (2015): An extension of the SIMPLE based discontinuous Galerkin solver to unsteady incompressible flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids 77, 10, 571–589].

In the second part of this work, the solver is extended to variable density flows at low-Mach numbers. An intermediate step in the development of the solver for low-Mach number flows is a method for simulating multiphase flows with a smooth interface approach and without surface tension. The solver for low-Mach number flows is based on the low-Mach number equations, which are an approximation of the compressible Navier-Stokes equations in the limit of zero Mach number. To the best of the author's knowledge, it is the first time that the DGM is applied to the low-Mach number equations. For spatial discretization the mixed-order formulation is applied. Various test cases confirm the high accuracy of the method also for multiphase flows and low-Mach number flows.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem numerischen Verfahren hoher Ordnung basierend auf der Diskontinuierlichen Galerkin Methode (DGM) zur Simulation inkompressibler Strömungen sowie Strömungen variabler Dichte bei kleinen Mach Zahlen. Die diskretisierten Gleichungen bilden ein nichtlineares Gleichungssystem, welche unter Verwendung des SIMPLE Algorithmus entkoppelt und iterativ gelöst werden. Dieses Verfahren wird sowohl für zeitunabhängige als auch zeitabhängige Probleme angewandt. Die Diskretisierung in der Zeit ist implizit, wobei sogenannte Rückwärtsdifferenzen verwendet werden. Die vorgeschlagene Methode wird in die institutseigene Softwarebibliothek BoSSS implementiert. Konvergenzraten in Zeit und Ort, Performance und Stabilität des entwickelten Lösers werden anhand zahlreicher Beispiele untersucht. Im ersten Teil dieser Arbeit beschreiben wir die Diskretisierung sowie den Lösungsalgorithmus zur Simulation inkompressibler Strömungen. Für die örtliche Diskretisierung vergleichen wir die sogenannten mixed-order und equal-order Formulierungen. Bei der mixed-order Formulierung werden die Lösungen für die Geschwindigkeit durch Polynome der Ordnung k approximiert und für den Druck durch Polynome der Ordnung k-1. Bei der equal-order Formulierung besitzen alle Polynome die Ordnung k. Unter Verwendung der mixed-order Formulierung erhalten wir experimentelle Konvergenzraten von k+1 für die Geschwindigkeit und k für den Druck. Für die equal-order Formulierung ist eine Druckstabilisierung nötig. Die Konvergenzraten entsprechen näherungsweise jenen der mixed-order Formulierung, wobei die absoluten Fehler für die equal-order Formulierung kleiner sind. Die Stabilität des Verfahrens untersuchen wir anhand des Orr-Sommerfeld Problems. Schließlich validieren wir den Löser, indem wir die zwei- und dreidimensionale Zylinderumströmung untersuchen. Dieser Teil, welcher sich mit inkompressiblen Strömungen beschäftigt, basiert wesentlich auf zwei Artikeln, welche im Laufe dieser Arbeit entstanden sind: [KLEIN, B., KUMMER, F., OBERLACK, M. (2013): A SIMPLE based discontinuous Galerkin solver for steady incompressible flows. Journal of Computational Physics 237, 235–250] und [KLEIN, B., KUMMER, F., KEIL, M., OBERLACK, M. (2015): An extension of the SIMPLE based discontinuous Galerkin solver to unsteady incompressible flows. International Journal for Numerical Methods in Fluids 77, 10, 571–589]. Im zweiten Teil dieser Arbeit erweitern wir den Löser zur Simulation von Strömungen variabler Dichte bei kleinen Mach Zahlen. In einem Zwischenschritt entwickeln wir einen Löser zur Simulation von Mehrphasenströmungen. Dabei wird die physikalisch scharfe Grenzfläche zwischen zwei Phasen durch eine glatte Übergangsfunktion approximiert. Weiterhin wird die Oberflächenspannung vernachlässigt. Im nächsten Schritt wird die Simulation von sogenannten low-Mach Strömungen behandelt. Grundlage dieser Simulationen bilden die low-Mach Gleichungen, welche eine Approximation der kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen für kleine Mach Zahlen sind. Nach dem besten Wissen des Autors ist dies die erstmalige Anwendung der Diskontinuierlichen Galerkin Methode zur numerischen Lösung der low-Mach Gleichungen. Zur örtlichen Diskretisierung verwenden wir die mixed-order Formulierung. Verschiedene Testfälle demonstrieren die hohe Genauigkeit der Methode auch für Mehrphasenströmungen und low-Mach Strömungen.German View Item