In der vorliegenden Arbeit wird eine diskontinuierliche Galerkin-Methode zur numerischen Simulation der Dynamik von Fluid-Fluid Interfaces verwendet. Zur Durchführung der Simulationen wurde der institutseigene Code BoSSS erweitert. Dabei wird angenommen, dass das Strömungsfeld durch die Navier-Stokes Gleichungen mit phasenabhängigen Dichte- und Viskositätsfeldern beschrieben werden. Im Rahmen der diskontinuierliche Galerkin Methode werden die abhängigen Variablen durch polynomiale Funktionen in jeder Zelle des numerischen Gitters approximiert. Dieser Ansatz führt in der Regel zu unphysikalischen Oszillationen an der Phasengrenzfläche, da dort Sprünge in den physikalischen Größen wie beispielsweise der Dichte vorliegen. Um dieses Problem zu überwinden, wirde ein diffuses Interface angenommen, bei der ein Sprung durch eine kontinuierliche Variation, d.h. eine geglättete Heavisidefunktion, approximiert wird. Außerdem wird angenommen, dass die Interfacediffusion in einem begrenzten Bereich um die Phasengrenzfläche stattfindet. Bei gegebener Gitterauflösung und Polynomordnung können nur Sprünge mit einer begrenzten Sprunghöhe betrachtet werden, um die genannten unphysikalischen Oszillationen zu vermeiden. Effekte aus Oberflächenspannung und Gravitation werden in der Simulation durch Hinzufügen der entsprechenden Quellterme in den Navier-Stokes Gleichungen berücksichtigt. Zur Beschreibung der Kinematik der Phasengrenzfläche wird die Level Set Methode verwendet. Durch Verwendung der diskontinuierlichen Galerkin Methode zur Lösung der Level Set Advektionsgleichung können Ergebnisse mit hoher Genauigkeit erreicht werden. Da die geglättete Heavisidefunktion sowie die Deltafunktion in Abhängigkeit der Level Set Funktion beschrieben werden, muss es sich bei der Level Set Funktion um eine vorzeichenbehaftete Abstandsfunktion handeln, um eine gleichförmige Diffusionsweite zu erhalten. Die Eigenschaft eines vorzeichenbehafteten Abstands der Level Set Funktion kann durch Lösen der Reinitialisierungsgleichung wiederhergestellt werden. Die Anwendung eines Godunov Schema zur Approximation des Hamiltonterms in der Reinitialisierungsgleichung führt zu einer monotonie erhaltenden Lösung. Eine erwähnenswerte Verbesserung der Stabilität wird durch Hinzufügen einer künstlichen Diffusion entlang der charakteristischen Linien erreicht. Die Lösung zeigt das erwartete hp Konvergenz Verhalten und nahezu keine unphysikalische Verschiebung der Phasengrenzfläche werden beobachtet. Zur Lösung der Navier-Stokes Gleichungen wird eine explizit-implizite, steife Integrationsmethode in Kombination mit einer Splittingmethode zur Entkopplung des Geschwindgkeits und des Druckfelds verwendet. Dieser Solver, welcher ursprünglich zur Simulation von Einphasenströmungen entwickelt wurde, diente als Basis zur Implementierung des neuen Mehrphasenlösers. Dieser neue Löser für Mehrphasenströmungen wird anhand verschiedener Testfälle wie der einer aufsteigenden Blase verifiziert.