Diese Dissertation befasst sich mit dem Entwurf und der Analyse von approximationsbasierten Methoden für nichtkonvexe und nichtglatte Optimierungsprobleme. Die Hauptidee dieser Methoden besteht darin, ein schwieriges Optimierungsproblem zu lösen, indem es in eine Reihe von einfacheren Ersatz- bzw. approximativen Problemen umgewandelt wird. In den beiden weit verbreiteten Optimierungsrahmenwerken, nämlich dem Majorization-Minimization (MM) Rahmenwerk und dem sukzessiven konvexen Approximation (SCA) Rahmenwerk, wird die approximative Funktion so gestaltet, dass sie eine globale obere Schranke, genannt Majorisierer, der ursprünglichen Zielfunktion bzw. konvex ist. Allgemein gesprochen gibt es zwei Anforderungen an die approximative Funktion, nämlich die Nähe zur ursprünglichen Zielfunktion und die geringe Rechenkomplexität der Minimierung der approximativen Funktion. Insbesondere konzentrieren wir uns auf Techniken, die verwendet werden können, um ein parallelisierbares approximatives Problem zu konstruieren, um moderne Multicore-Computing-Plattformen zu nutzen.

Der erste Teil dieser Arbeit zielt darauf ab, einen effizienten parallelisierbaren algorithmischen Rahmen basierend auf Approximationstechniken für eine breite Klasse von nichtkonvexen und nichtglatten Optimierungsproblemen zu entwickeln. Das klassische Konvergenzergebnis von MM basiert auf der Konsistenz der Richtungsableitungen in allen Richtungen zwischen der ursprünglichen Zielfunktion und ihrem Majorisierer an dem Punkt, an dem der Majorisierer konstruiert wird. Diese Anforderung beschränkt den am nichtdifferenzierbaren Punkt der ursprünglichen Funktion konstruierten Majorisierer darauf, ebenfalls nicht glatt zu sein, was seine Fähigkeit zur Vereinfachung nichtglatter Probleme einschränkt, da die Minimierung der majorisierenden Funktion, wenn sie auf nicht glatt beschränkt ist, weiterhin schwierig sein kann. Daher lockern wir in dieser Arbeit die Konsistenz der Ableitung im Majorisierungsschritt, sodass ein glatter Majorisierer, der leicht minimiert werden kann, für eine breite Klasse von nichtglatten Problemen zugelassen wird. Als Ergebnis dieser Lockerung der Ableitungskonsistenz führt die glättende Majorisierung zur Konvergenz zu einer stationären Lösung in einem entspannteren Sinne als das klassische MM. Darüber hinaus ermöglicht uns die Glätte der majorisierenden Funktion im Gegensatz zur exakten Minimierung der möglicherweise nichtkonvexen majorisierenden Funktion die Anwendung der Idee von SCA sowie verfügbarer separierbarer Approximationstechniken, um einen approximativen Minimierer der majorisierenden Funktion effizient zu erhalten. Daher entwickeln wir einen parallelisierbaren inexakten MM-Rahmen, genannt Smoothing SCA, indem wir die glättende Majorisierungstechnik und die Idee der sukzessiven konvexen Approximation kombinieren. In diesem Rahmen wird die Konstruktion des approximativen Problems bei jeder Iteration in zwei Schritte unterteilt, nämlich die glättende Majorisierung und die konvexe Approximation, sodass die beiden Anforderungen an die approximative Funktion getrennt behandelt werden können. Darüber hinaus können sowohl das exakte als auch das inexakte MM mit glättender Majorisierung blockkoordinatenweise implementiert werden, um potenzielle separierbare Strukturen der Einschränkungen im Optimierungsproblem auszunutzen. Das Konvergenzverhalten der vorgeschlagenen Rahmenwerke wird entsprechend analysiert.

Im zweiten Teil dieser Arbeit wird das von uns hauptsächlich propagierte Rahmenwerk, das glättende SCA-Rahmenwerk, verwendet, um das Phasenrückgewinnungsproblem mit Wörterbuchlernen anzugehen. Zwei effiziente Parallelalgorithmen werden entwickelt, indem das glättende SCA auf zwei komplementäre nichtkonvexe und nichtglatte Formulierungen angewendet wird, die beide auf einem Kriterium der kleinsten Quadrate basieren. Die Rechenkomplexitäten der vorgeschlagenen Algorithmen werden theoretisch analysiert und sowohl ihre Fehlerleistung als auch ihre Rechenzeit werden durch umfangreiche Simulationen im Kontext der blinden Kanalschätzung aus Subband-Amplitudenmessungen in einem Mehrantennen-Zugriffsnetzwerk im Vergleich zu den modernsten Methoden bewertet.