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Asymptotic Analysis and Numerical Approximation of some Partial Differential Equations on Networks

Philippi, Nora Marie (2023)
Asymptotic Analysis and Numerical Approximation of some Partial Differential Equations on Networks.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00024732
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Asymptotic Analysis and Numerical Approximation of some Partial Differential Equations on Networks
Language: English
Referees: Egger, Prof. Dr. Herbert ; Giesselmann, Prof. Dr. Jan ; Leugering, Prof. Dr. Günter
Date: 13 November 2023
Place of Publication: Darmstadt
Collation: x, 128 Seiten
Date of oral examination: 28 August 2023
DOI: 10.26083/tuprints-00024732
Abstract:

In this thesis, we consider three different model problems on one-dimensional networks with applications in gas, water supply, and district heating networks, as well as bacterial chemotaxis. On each edge of the graph representing the network, the dynamics are described by partial differential equations. Additional coupling conditions at network junctions are needed to ensure basic physical principles and to obtain well-posed systems. Each of the model problems under consideration contains an asymptotic parameter epsilon>0, which is assumed to be small, describing either a singular perturbation, different modeling scales, or different physical regimes. A central objective of this work is the investigation of the asymptotic behavior of solutions for epsilon going to zero. Moreover, we focus on suitable numerical approximations based on Galerkin methods that are still viable in the asymptotic limit epsilon=0 and preserve the structure and basic properties of the underlying problems.

In the first part, we consider singularly perturbed convection-diffusion equations on networks as well as the corresponding pure transport equations arising in the vanishing diffusion limit for epsilon going to zero, in which the coupling conditions change in number and type. This gives rise to interior boundary layers at network junctions. On a single interval, corresponding asymptotic estimates are well-established. A main contribution is the transfer of these results to networks. For an appropriate numerical approximation, we propose a hybrid discontinuous Galerkin method which is particularly suitable for dominating convection and coupling at network junctions. An approximation strategy is developed based on layer-adapted meshes, leading to epsilon-uniform error estimates.

The second part is dedicated to a kinetic model of chemotaxis on networks describing the movement of bacteria being influenced by the presence of a chemical substance. Via a suitable scaling the classical Keller-Segel equations can be derived in the diffusion limit. We propose a proper set of coupling conditions that ensure the conservation of mass and lead to a well-posed problem. The local existence of solutions uniformly in the scaling can be established via fixed point arguments. Appropriate a-priori estimates then enable us to rigorously show the convergence of solutions to the diffusion limit. Via asymptotic expansions, we also establish a quantitative asymptotic estimate.

In the last part, we focus on models for gas transport in pipe networks starting from the non-isothermal Euler equations with friction and heat exchange with the surroundings. An appropriate rescaling of the equations accounting for the large friction, large heat transfer, and low Mach regime leads to simplified isothermal models in the limit epsilon=0. We propose a fully discrete approximation of the isothermal Euler equations using a mixed finite element approach. Based on a reformulation of the equations and relative energy estimates, we derive convergence estimates that hold uniformly in the scaling to a parabolic gas model. We finally extend some ideas and results also to the non-isothermal regime.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit betrachten wir drei verschiedene Modellprobleme auf eindimensionalen Netzwerken mit Anwendung in Gas-, Wasser-, und Fernwärmenetzwerken sowie in bakterieller Chemotaxis. Auf jeder Kante des Graphen, welcher das Netzwerk beschreibt, ist die Dynamik durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. Zusätzliche Kopplungsbedingungen an inneren Knoten werden zur Erhaltung von physikalischen Grundprinzipien gebraucht. Jedes der drei Modellprobleme enthält einen asymptotischen Parameter Epsilon>0, der entweder eine singuläre Störung, verschiedene Größenskalen oder physikalische Regimes beschreibt. Zentrales Ziel der Arbeit ist die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von Lösungen für kleines Epsilon. Darüber hinaus betrachten wir geeignete numerische Approximationen basierend auf Galerkin Verfahren, die auch für Epsilon=0 gültig sind und die Struktur sowie grundlegende Eigenschaften der Probleme erhalten.

Im ersten Teil befassen wir uns mit singulär gestörten Konvektions-Diffusionsgleichungen auf Netzwerken und die dazugehörigen Transportgleichungen, die wir im Grenzwert Epsilon=0 für verschwindene Diffusion erhalten. Die Anzahl und der Typ von Kopplungsbedingungen ändern sich, was zu Grenzschichten an inneren Netzwerkknoten führt. Auf einem Intervall sind zugehörige asymptotische Abschätzungen wohlbekannt. Ein wesentlicher Beitrag unserer Arbeit ist die Erweiterung auf Netzwerke. Für die numerische Approximation schlagen wir eine hybride Discontinuous Galerkin Methode vor, die besonders für dominierende Konvektion sowie die Kopplung an Netzwerkknoten geeignet ist. Eine adaptive Approximationsstrategie auf layer-adapted Gittern liefert Epsilon-uniforme Fehlerschranken.

Im zweiten Teil der Arbeit geht es um ein kinetisches Modell für Chemotaxis auf Netzwerken, welches die Fortbewegung von Bakterien unter Einfluss einer chemischen Substanz beschreibt. Mittels einer geeigneten Reskalierung erhalten wir das klassische Keller-Segel Modell im Diffusionsgrenzwert. Wir schlagen geeignete Kopplungsbedingungen an Netzwerkknoten vor, die zu einem wohlgestellten Problem führen. Die lokale Existenz von Lösungen uniform in Epsilon kann mittels Fixpunktargumenten gezeigt werden. A-priori Schranken erlauben es uns dann die Konvergenz von Lösungen zum Diffusiongrenzwert zu zeigen. Wir leiten außerdem eine quantitative asymptotische Abschätzung her.

Im letzten Teil der Arbeit untersuchen wir Modelle für den Gastransport in Rohrnetzwerken. Ausgehend von den nicht-isothermen Eulergleichungen mit Reibung und Wärmeaustausch mit der Umgebung führt eine geeignete Reskalierung hinsichtlich großer Reibung, hohem Wärmeaustausch und kleiner Geschwindigkeiten zu vereinfachten isothermen Modellen im Grenzwert Epsilon=0. Wir analysieren eine gemischte Finite Elemente Methode für den isothermen Gastransport. Mittels relativen Energieabschätzungen können wir Konvergenz des Verfahrens mit Raten uniform in Epsilon zeigen. Schließlich erweitern wir unsere Betrachtungen auf den nicht-isothermen Fall.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-247329
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 13 Nov 2023 13:11
Last Modified: 13 Dec 2023 11:59
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/24732
PPN: 513157115
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