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Data Driven Estimation of Wall Shear Stress from Magnetic Resonance Imaging

Teschner, Gabriel (2023)
Data Driven Estimation of Wall Shear Stress from Magnetic Resonance Imaging.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00023218
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Data Driven Estimation of Wall Shear Stress from Magnetic Resonance Imaging
Language: English
Referees: Egger, Prof. Dr. Herbert ; Pietschmann, Prof. Dr. Jan-Frederik
Date: 2023
Place of Publication: Darmstadt
Collation: 127 Seiten
Date of oral examination: 1 April 2022
DOI: 10.26083/tuprints-00023218
Abstract:

Flows occur in various applications in engineering and medicine. Dynamic quantities, in particular the forces, that the flowing viscous fluid exerts on the neighbouring material, are of special interest. Following the widely accepted flow model, these dynamic quantities are representable by derivatives of the velocity field.

A modification of magnetic resonance imaging is capable to measure besides morphological data, also velocity fields in the interior of an object. As a non-invasive method, it is in particular suited for in vivo investigations of the cardiovascular system.

This thesis deals with the problem of reconstructing the wall shear stress, the distribution of the shear forces, that the blood flow exerts on the aortic vessel wall. This involves the reconstruction of both the flow geometry and velocity from magnetic resonance data and the evaluation of the normal velocity derivative, the shear rate. At first glance, this problem might seem trivial. However, there are several issues:

- Magnetic resonance imaging acquires local means of the flow velocity with comparatively low spatial and temporal resolution. Additionally, the measurements are contaminated by noise. - The blood flow exhibits boundary layers, where the flow field dramatically changes over small distances. This complicates an accurate approximation of the velocity field in the region near to the boundary. - The flow geometry and the flow velocity are structurally connected: Just the shear-rate, that has to be evaluated, exhibits a discontinuity at the boundary.

In the first part of this work we present a framework for the purely data driven wall shear stress reconstruction. For this purpose, we approximate the flow geometry first, and then the flow velocity using parametric representations. The reconstruction method allows for a continuous analysis as regularization procedure for two coupled inverse problems. Since the corresponding forward operators satisfy a conditional stability estimate, convergence of the reconstruction method can be established under reasonable smoothness assumptions on the geometry and the flow velocity. These results widely carry over to the discrete setting, where we introduce discrete versions of the forward operators to minimize the data error.

In the second part of this work we use methods of data assimilation, to enhance the purely data driven reconstruction using a fluid dynamical model. In a first study, we utilize a variational approach for the enhancement of the velocity reconstruction under known geometry, that minimizes a functional consisting of a data error and a model error and was formerly developed and analyzed in our research group. The variational approach is formally equivalent to an optimal control problem. Secondly, we demonstrate the basic possibility to enhance the geometry identification based on a fixed fluid dynamical model. For both methods, we utilize the widely accurate purely data driven reconstructions for linearization and localization of the applied fluid dynamic model.

For the assessment of the developed methods we have conducted a comprehensive validation in collaboration with experts of fluid dynamics and radiology from the Institute for Fluid Mechanics and Aerodynamics, Technical University Darmstadt, and the Department of Radiology – Medical Physics, University Hospital Freiburg, respectively. A big issue is the lack of ground truth. The wall shear stress is highly sensitve to perturbations of the environmental conditions. Hence, the experiments have to be performed with meticulous diligence, to ensure reproducibility and hence validity of the reference values, that are obtained from high-resolution laser Doppler anemometry or computational fluid dynamics. Additionally, we have developed highly robust and accurate but to specific flows limited reconstruction methods, to estimate the wall shear stress directly from the magnetic resonance data. Furthermore we fall back on virtual in silico data in some cases.

Already the purely data driven reconstruction method provides largely convincing results. However, the reconstruction is highly sensitve to perturbations of the geometry identification and reveals sometimes systematic errors due to the coarse resolution. Our analysis identifies the error sources and their contribution to the overall error. This offers a guideline for a suitable choice of several parameters in the measurement setup. Furthermore, the described shortcomings of the purely data driven reconstruction are essentially corrected by the provided data assimilation techniques. The specialization to the application in the aorta leads to a fully integrated reconstruction method with low computational effort, typical running times for all provided methods are in the range of several minutes using common hardware. Therefore, a valid estimation of wall shear stress in the aorta is feasible, even under the limitations of clinical routine.

This thesis was funded by the DFG via grant EG-331/1-1. The collaboration with the project partners resulted in the following papers:

- H. Egger and G. Teschner. On the Stable Estimation of Flow Geometry and Wall Shear Stress from Magnetic Resonance Images. Inverse Problems, 35:095001, 2019. - A. Bauer, S. Wegt, M. Bopp, S. Jakirlic, C. Tropea, A. J. Krafft, N. Shokina, J. Hennig, G. Teschner and H. Egger. Comparison of Wall Shear Stress Estimates Obtained by Laser Doppler Velocimetry, Magnetic Resonance Imaging and Numerical Simulations. Experiments in Fluids, 60:1–16, 2019. - N. Shokina, A. Bauer, G. Teschner, W. B. Buchenberg, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. MR-based Wall Shear Stress Measurements in Fully Developed Turbulent Flow using the Clauser Plot Method. Journal of Magnetic Resonance, 305:16–21, 2019. - N. Shokina, G. Teschner, A. Bauer, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. Quantification of Wall Shear Stress in Large Blood Vessels using Magnetic Resonance Imaging. Computational Technologies, 24:4–27, 2019. - N. Shokina, G. Teschner, A. Bauer, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. Parametric Sequential Method for MRI-based Wall Shear Stress Quantification. IEEE Transactions on Medical Imaging, 40:1105–1112, 2020.

In this thesis, we will summarize the findings of the papers mentioned above and appropriatly extend them to an entire analysis of the wall shear stress reconstruction.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In vielen ingenieurwissenschaftlichen und medizinischen Anwendungen treten Strömungen auf. Von besonderem Interesse sind dabei dynamische Größen, insbesondere Kräfte, die ein strömendes viskoses Fluid auf seine Umgebung ausübt. Nach dem allgemein akzeptierten Strömungsmodell lassen sich diese dynamischen Größen durch Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes ausdrücken.

Mit Varianten der Magnetresonanztomographie können sowohl morphologische als auch Geschwindigkeitsdaten im Inneren eines Körpers erfasst werden. Als nichtinvasive Methode ist sie besonders für in vivo Untersuchungen des kardiovaskulären Systems geeignet.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Bestimmung der Wandschubspannung, der Verteilung der Scherkräfte, die die Blutströmung auf die Aortenwand ausübt. Dazu muss aus den Magnetresonanzdaten die Strömungsgeometrie sowie das Geschwindigkeitsfeld bestimmt und anschließend dessen Normalableitung, die Schergeschwindigkeit, ausgewertet werden. Auf den ersten Blick mag diese Aufgabe trivial erscheinen, allerdings erschweren einige Probleme ihre Lösung:

- Die Magnetresonanztomographie misst lokale Mittel der Strömungsgeschwindigkeit mit vergleichsweise niedriger Auflösung. Zusätzlich sind die Messungen verrauscht. - Die Blutströmungen bilden Grenzschichten aus, in welchen sich das Strömungsfeld stark verändert. Dies erschwert die akkurate Approximation des Geschwindigkeitsfeldes gerade im Wandbereich. - Es besteht eine strukturelle Verbindung zwischen Strömungsgeschwindigkeit und Strömungsgeometrie: An der Wand besitzt gerade die auszuwertende Schergeschwindigkeit eine Unstetigkeit.

Im ersten Teil dieser Arbeit stellen wir ein Framework zur rein datenbasierten Berechnung der Wandschubspannung vor. Dabei werden zunächst die Strömungsgeometrie und anschließend die Strömungsgeschwindigkeit durch Parametrisierungen approximiert. Im Kontinuierlichen lässt sich die Rekonstruktionsmethode als Regularisierungsverfahren zweier gekoppelter inverser Probleme analysieren. Die zugehörigen Vorwärtsoperatoren erfüllen eine bedingte Stabilitätsabschätzung, womit die Konvergenz des Rekonstruktionsverfahrens unter akzeptablen Glattheitsvoraussetzungen an Geometrie und Strömung nachgewiesen werden kann. Diese Resultate lassen sich weitgehend in den diskreten Fall übertragen, wobei zur Minimierung des Datenfehlers diskrete Vorwärtsoperatoren eingeführt werden.

Im zweiten Teil der Arbeit nutzen wir Methoden der Datenassimilation, um mithilfe eines Strömungsmodells die rein datenbasierte Rekonstruktion zu verbessern. Einerseits greifen wir dafür auf einen in der Arbeitsgruppe entwickelten Variationszugang zur Geschwindigkeitsrekonstruktion unter bekannter Geometrie zurück, der ein aus Datenfehler und Modellfehler bestehendes Zielfunktional minimiert. Formal entspricht dieses Verfahren einem Optimalsteuerungsproblem. Andererseits demonstrieren wir die prinzipielle Möglichkeit, die Geometrierekonstruktion mit einem Strömungsmodell zu verbessern. In beiden Fällen nutzen wir die weitgehend akkuraten datenbasierten Rekonstruktionen zur Linearisierung und Lokalisierung des eingesetzten Strömungsmodells.

Die theoretischen Aussagen wurden in Kooperation mit Experten vom Fachgebiet für Strömungslehre und Aerodynamik der Technischen Universität Darmstadt und des Fachbereichs Radiologie und Medizinphysik des Universitätsklinikums Freiburg umfangreich validiert. Eine große Schwierigkeit ist der Mangel an Referenzwerten. Die Wandschubspannung reagiert sehr sensibel auf Störungen der Umgebungsbedingungen. Deshalb mussten die Experimente mit akribischer Genauigkeit durchgeführt werden, um Reproduzierbarkeit und damit die Aussagekraft der durch hochauflösende Laser-Doppler-Anemometrie sowie Computersimulationen erhaltenen Referenzwerte sicherzustellen. Zusätzlich wurden besonders stabile, aber auf bestimmte Strömungen spezialisierte Verfahren entwickelt, um die Wandschubspannung mit hoher Genauigkeit auch aus den Magnetresonanzdaten zu bestimmen. Weiterhin wird in einigen Fällen auf virtuelle in silico Daten zurückgegriffen.

Bereits die rein datenbasierte Methode liefert weitgehend überzeugende Resultate. Allerdings ist die Rekonstruktion sehr sensibel bezüglich Fehlern in der Geometrieerkennung und zeigt in einigen Fällen durch die grobe Auflösung verursachte systematische Störungen. Unsere Analyse identifiziert die Fehlerquellen und ihren Beitrag zum Rekonstruktionsfehler. Dies liefert wichtige Hinweise für eine geeignete Wahl der Messparameter. Weiterhin lassen sich die beschriebenen Schwachstellen der rein datenbasierten Rekonstruktion durch die vorgestellten Datenassimilationsmethoden substantiell verbessern. Die Spezialisierung unseres Rekonstruktionsframeworks auf die Anwendung in der Aorta führt zu einem niedrigen Rechenaufwand, typische Rechenzeiten für alle vorgestellten Methoden liegen im Bereich von wenigen Minuten auf gewöhnlicher Hardware. Damit ist auch unter den Limitierungen der klinischen Routine eine valide Schätzung der Wandschubspannung möglich.

Diese Arbeit wurde durch das DFG Projekt EG-331/1-1 finanziert. In dessen Rahmen entstanden in Zusammenarbeit mit den Projektpartnern die folgenden Arbeiten:

- H. Egger and G. Teschner. On the Stable Estimation of Flow Geometry and Wall Shear Stress from Magnetic Resonance Images. Inverse Problems, 35:095001, 2019. - A. Bauer, S. Wegt, M. Bopp, S. Jakirlic, C. Tropea, A. J. Krafft, N. Shokina, J. Hennig, G. Teschner and H. Egger. Comparison of Wall Shear Stress Estimates Obtained by Laser Doppler Velocimetry, Magnetic Resonance Imaging and Numerical Simulations. Experiments in Fluids, 60:1–16, 2019. - N. Shokina, A. Bauer, G. Teschner, W. B. Buchenberg, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. MR-based Wall Shear Stress Measurements in Fully Developed Turbulent Flow using the Clauser Plot Method. Journal of Magnetic Resonance, 305:16–21, 2019. - N. Shokina, G. Teschner, A. Bauer, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. Quantification of Wall Shear Stress in Large Blood Vessels using Magnetic Resonance Imaging. Computational Technologies, 24:4–27, 2019. - N. Shokina, G. Teschner, A. Bauer, C. Tropea, H. Egger, J. Hennig and A. J. Krafft. Parametric Sequential Method for MRI-based Wall Shear Stress Quantification. IEEE Transactions on Medical Imaging, 40:1105–1112, 2020.

Wir fassen die in den obigen Arbeiten gewonnen Resultate in dieser Dissertationsschrift zusammen und ergänzen sie an geeigneter Stelle zu einer vollständigen Analyse der Rekonstruktion der Wandschubspannung.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-232185
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
TU-Projects: DFG|EG331/1-1|Messung von Wandschu
Date Deposited: 28 Feb 2023 13:08
Last Modified: 02 Mar 2023 07:08
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/23218
PPN: 505381702
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