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Bounds for Canonical Green's Functions of Cofinite Fuchsian Groups at Cusps

Majumder, Priyanka (2022)
Bounds for Canonical Green's Functions of Cofinite Fuchsian Groups at Cusps.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00020399
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Bounds for Canonical Green's Functions of Cofinite Fuchsian Groups at Cusps
Language: English
Referees: Pippich, Prof. Dr. Anna-Maria von ; Kramer, Prof. Dr. Jürg
Date: 2022
Place of Publication: Darmstadt
Collation: xvii, 139 Seiten
Date of oral examination: 17 December 2021
DOI: 10.26083/tuprints-00020399
Abstract:

In this thesis, we study Green’s functions on modular curves with respect to the canonical metric which come from Arakelov’s theory. Let Γ be a Fuchsian subgroup of PSL2(R) and H be the upper half-plane. Then the quotient space X = Γ\H is conformally equivalent to a non-compact Riemann surface. The canonical Green’s function gcan (z, w), is a function of z, w ∈ X (z ≠ w), which is uniquely characterized by the differential equation d z d cz gcan (z, w) + δw (z) = μcan (z), where δw (z) is the Dirac delta distribution, and gcan (z, w) satisfies the normalization condition ∫x gcan (z, w) μcan (z) = 0 with w ∈ X. In this thesis we reprove some known asymptotic bounds for the canonical Greens function associated to Γ0(N ), Γ1(N ), and Γ(N ). The asymptotic bound for the canonical Green’s function associated with Γ0(N ) (with square-free N ) was first proved by A. Abbes, P. Michel, and E. Ullmo. In this thesis we reproved their result using a different approach namely, we use hyperbolic heat kernels. We express the difference between the hyperbolic Green’s function and the canonical Green’s function, ghyp (z, w) − gcan (z, w), in terms of integrals involving the hyperbolic heat kernel Khyp (t; z, w) (t ∈ R >0 ; z, w ∈ X). Then we prove that at two inequivalent cusps of a cofinite Fuchsian subgroup the canonical Green’s function can be bounded in terms of the scattering constants, the Kronecker limit functions, and the Selberg zeta constant, etc. Then, we consider some examples of cofinite Fuchsian subgroups, Γ0(N ), Γ1(N ), and Γ(N ), which are the most important congruence subgroups. Furthermore, using the hyperbolic heat kernel approach we are also able to prove some new results. In the case of Γ0(N ) we are able to remove the square-free condition on N . We also prove an asymptotic bound for the canonical Green’s function associated with a general congruence subgroup. Note that, this approach with the hyperbolic heat kernel has been introduced by J. Jorgenson, J. Kramer and further extended by A. Aryasomyajula.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit studieren wir Greensche Funktionen auf Modulkurven bezüglich der kanonischen Metrik, die aus der Arakelov-Theorie stammen. Sei Γ eine Fuchssche Untergruppe von PSL2 (R) und H die obere Halbebene. Dann ist X = Γ\H konform äquivalent zu einer nicht-kompakten Riemannschen Fläche. Die kanonische Greensche Funktion gcan (z, w) ist eine Funktion von z, w ∈ X (z ≠ w), die eindeutig charakterisiert wird durch die Differentialgleichung d z d cz gcan (z, w) + δw (z) = μcan (z), wobei δw (z) die Dirac-Delta-Distribution ist, und gcan (z, w) die Normierungsbedingung ∫x gcan (z, w) μcan (z) = 0 für w ∈ X erfüllt. In dieser Arbeit beweisen wir einige bekannte asymptotische Schranken für die zu Γ0(N ), Γ1(N ) und Γ(N ) assoziierte kanonische Greensche Funktion neu. Die Schranke für die kanonische Greensche Funktion zu Γ0(N ) (mit N quadratfrei) wurde zuerst von A. Abbes, P. Michel, und E. Ullmo bewiesen. Wir beweisen das Resultat mithilfe eines anderen Ansatzes, indem wir hyper- bolische Wärmekerne benutzen. Wir schreiben die Differenz der hyperbolischen Greenschen Funktion und der kanonischen Greenschen Funktion, ghyp (z, w) − gcan (z, w), in Termen von Integralen, die den hyperbolischen Wärmekern Khyp (t; z, w) (t ∈ R >0 ; z, w ∈X) enthalten. Im Anschluss beweisen wir, dass die kanonische Greensche Funktion an zwei nicht äquivalenten Spitzen einer kofiniten Fuchsschen Untergruppe durch Streuungskonstanten, Kronecker’sche Grenzfunktionen, die Selberg-Zeta-Konstante, etc., beschränkt werden kann. Dann betrachten wir die wichtigsten Kongruenzuntergruppen Γ0(N ), Γ1(N ) und Γ(N ) als Beispiele kofiniter Fuchsscher Untergruppen. Zudem können wir unter Verwendung des neuen Ansatzes neue Resultate beweisen. Im Fall Γ0(N ) können wir die Voraussetzung, dass N quadrat-frei ist, fallen lassen. Wir beweisen weiter eine asymptotische Schranke für die kanonische Greensche Funktion einer allgemeinen Kongruenzuntergruppe. Man beachte, dass der Ansatz des hyperbolischen Wärmekerns zuerst durch J. Jorgenson, J. Kramer eingeführt und danach auch von A. Aryasomyajula studiert und weiter ausgebaut wurde.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-203998
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Algebra > Automorphic Forms, Number Theory, Algebraic Geometry
Date Deposited: 04 Mar 2022 14:01
Last Modified: 04 Mar 2022 14:01
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/20399
PPN: 492785929
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