TU Darmstadt / ULB / TUprints

Classification of BTn-groups over perfectoid rings

Henkel, Timo (2020):
Classification of BTn-groups over perfectoid rings. (Publisher's Version)
Darmstadt, Technische Universität,
DOI: 10.25534/tuprints-00014223,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Status: Publisher's Version
Title: Classification of BTn-groups over perfectoid rings
Language: English
Abstract:

In this work, we investigate p-divisible groups over integral perfectoid rings by focussing on the relevant p-power torsion subgroups, which are instances of BTn-groups. We use results of Lau and Anschütz-Le Bras to show that such groups can be described by semi linear algebra objects which live over the tilt of the ground ring. These objects are called BKn-modules. From this classification, we deduce that in our setting every BTn-group can be lifted to a p-divisible group. In the case of local perfectoid rings, we find an explicit description of this data in terms of orbits with respect to a certain group operation. By the connection between BT1-groups and F-Zips, this contains the classification of F-Zips ober a perfect field of characteristic p as a special case. We also deal with globalization aspects of this results. We show that BKn modules can be glued with respect to a certain topology which is fine enough to depict the classifying stack of BKn-modules as a quotient stack. Moreover, we consider our constructions with respect to the finer p-complete arc topology. This topology has a basis consisting of products of perfectoid valuation rings of rank at most 1. Finally, we show globalization results for this topology. In particular, BKn-modules over a perfect ring can be glued together and the resulting stack has a description as a quotient stack. Assuming a conjecture, analogous results are proved for general perfectoid rings.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit untersuchen wir p-divisible Gruppen über integralen perfektoiden Ringen, indem wir uns auf die entsprechenden Untergruppen der p^n-Torsionselemente, sogenannte BTn-Gruppen, konzentrieren. Wir benutzen Resultate von Lau und Anschütz-Le Bras und zeigen, dass solche Gruppen durch semilineare Objekte über dem Tilt des Grundrings beschrieben werden können. Diese Objekte nennen wir BKn-Moduln. Wir folgern aus dieser Klassifikation, dass in unserem Setting jede BTn-Gruppe zu einer p-divisiblen Gruppe geliftet werden kann. Für den Fall lokaler perfektoider Ringe finden wir eine explizite Beschreibung dieser Daten in Form von Bahnen bezüglich einer gewissen Gruppenoperation. Durch den Zusammenhang zwischen BT1-Gruppen und F-Zips erhalten wir hieraus die Klassifikation von F-Zips über perfekten Körpern der Charakteristik p als Spezialfall zurück. Wir beschäftigen uns außerdem mit der Frage nach der Globalisierung dieser Resultate. Wir zeigen, dass sich BKn-Moduln bezüglich einer bestimmten Topologie verkleben lassen, welche außerdem so fein ist, sodass wir eine Darstellung des klassifizierenden Stacks von BKn-Moduln als Quotientenstack erhalten. Des Weiteren beschäftigen wir uns mit Eigenschaften unserer Konstruktionen bezüglich der feineren p-vollständigen arc-Topologie. Diese Topologie besitzt eine Basis, die aus Produkten von perfektoiden Bewertungsringen vom Rang höchstens 1 besteht. Es werden schließlich Globalisierungsresultate bezüglich dieser Topologie gezeigt. Insbesondere lassen sich BKn-Moduln über einem perfekten Ring verkleben und der resultierende Stack besitzt wiederum eine Darstellung als Quotientenstack. Ein analoges Resultat über allgemeinen perfektoiden Ringen wird unter der Annahme einer Vermutung gezeigt.

German
Place of Publication: Darmstadt
Collation: vi, 59 Seiten
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics > Algebra
04 Department of Mathematics > Algebra > Arithmetic algebraic geometry
Date Deposited: 01 Dec 2020 07:53
Last Modified: 01 Dec 2020 07:53
DOI: 10.25534/tuprints-00014223
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-142233
Referees: Wedhorn, Prof. Dr. Torsten ; Lau, Prof. Dr. Eike
Refereed: 21 October 2020
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/14223
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