Für viele technische Prozesse ist die Dynamik aufsteigender oder fallender Flüssigkeitspartikel von großer Bedeutung. Deren Pfade und Formen zeigen ein komplexes Spektrum physikalischer Phänomene, das Instabilitäten und Bifurkationen beinhaltet. Trotz zahlreicher numerischer und experimenteller Untersuchungen sind viele dieser Phänomene noch nicht verstanden. Während der experimentelle Zugang zu lokalen Größen häufig nicht möglich ist, erlauben numerische Untersuchungen deren Extraktion ohne Störung der zugrundeliegenden Strömung.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich daher mit der Entwicklung und Implementierung eines Algorithmus zur globalen linearen Stabilitätsanalyse verformbarer fluider Partikel. Die mathematische Beschreibung der Stabilität erfolgt durch Eigenwerte, deren Berechnung durch eine Kombination aus numerischer Strömungslösung und linearer Algebra erfolgt. Dazu wird ein stationärer Zustand des Systems mit einer kleinen Störung überlagert und numerisch integriert, um die Evolution der Störung zu erhalten. Die Präsenz dynamischer Grenzflächen erfordert eine Transformation in eine Referenzkonfiguration, deren mathematische Grundlagen hergeleitet werden. Die Stabilität von zwei relevanten prototypischen Konfigurationen - sphärische Partikel in Schwerelosigkeit und frei aufsteigende Tropfen - wird untersucht, wobei die zu den instabilen Eigenwerten gehörenden Moden quantitativ und qualitativ beschrieben werden.

Eine Initialisierung des numerischen Strömungslösers erfordert für kleine Störungen sehr genaue Volumenfraktionen, deren Berechnung in drei Raumdimensionen mathematisch anspruchsvoll ist und mittels einer im Rahmen dieser Arbeit neu entwickelten Methode erfolgt. Die Verwendung entsprecheder Divergenztheoreme für Hyperflächen erlaubt, in Kombination mit einer differentialgeometrisch motivierten Approximation, die Transformation von Integralen in drei Raumdimensionen in Linienintegrale, die einer numerischen Quadratur wesentlich einfacher zugänglich sind. Die Berücksichtigung topologischer Konfigurationen der geschnittenen Zellen erlaubt eine robuste Implementierung, die für Sphären, Ellipsoide und gestörte Sphären numerisch getestet wird. Die globalen Fehler der Volumenapproximation zeigen Konvergenz bis zu vierter Ordnung mit räumlicher Auflösung.

Die Verwendung numerischer Methoden zur Stabilitätsanalyse physikalischer Systeme impliziert, dass die gefundenen Spektren sowohl numerische als auch physikalische Elemente enthalten. Für die hier untersuchten Strömungen spielt Oberflächenspannung eine zentrale Rolle, deren numerische Behandlung die Berechnung von mittleren Krümmungen aus Volumenfraktionen erfordert. Die substantiierte Interpretation der Ergebnisse einer Stabilitätsanalyse setzt daher genaue Kenntnis der Eigenschaften der implementierten numerischen Schemata voraus. Diese werden für die Methode der Höhenfunktionen theoretisch und numerisch für eine Reihe technisch relevanter Hyperflächen untersucht, wobei eine statistische Aufbereitung die Interpretation flankiert. Während für genügend genaue Volumenfraktionen die theoretischen Fehler für glatte Hyperflächen von zweiter Ordnung konvergieren, zeigt sich in numerischen Experimenten, dass die Qualität der Volumenfraktionen (im Sinne der globalen Volumenerhaltung) für die erwartete Konvergenz nicht hinreichend ist. Dies steht in direktem Zusammenhang mit den gefundenen instabilen Eigenwerten.