A C*-Algebraic Approach to Quantum Coding Theory

This work has reached several results. The first is, that it was possible to find a new, algebraic frame in which we can formulate stabilizer codes and show, that the choice of generators of a stabilizer algebra corresponds to choosing a representation of finitely many Rademacher functions in a matrix algebra. The second part of this work was to develop a quantum coding theory as a quantum analogue of classical coding theory. We do this by using a systematical view of quantum probability theory that was introduced by Kümmerer [1]. We follow this way of algebraization and develop analogously a quantum coding theory. Our result differs in some points from what has been developed so far, mainly because we are working not only with pure but also arbitrary states as well as infinitely many coupled qubits. We were able to integrate the common examples of quantum codes into our theory. The third main result is that we were able to show that the most important quantum algorithms, including stabilizer codes and the Shor algorithm, are in some sense commutative and thus classical. This could be done as quantum algorithms fit into the notion of quantum measurements, and our calculations imply that they can be represented as a coupling to a classical Bernoulli shift. [1] B. Kümmerer, Markov Dilations on W*-Algebras, Journal Functional Analysis, 63:139-177, 1985.

Die vorliegende Arbeit hat mehrere Ergebnisse. Zunächst geben wir eine neue, algebraische Charakterisierung von Stabilisatorkodes an und zeigen, dass die Wahl von Erzeugern einer Stabilisatoralgebra der Wahl einer Darstellung von endlich vielen Rademacherfunktionen in einer Matrixalgebra entspricht. Der zweite Teil dieser Arbeit entwickelt eine Quantenkodierungstheorie als quantenmechanische Entsprechung der klassischen Kodierungstheorie. Wir gehen diese Frage an, indem wir einen systematischen Zugang zur Quantenwahrscheinlichkeitstheorie von Kümmerer [1] verwenden. Wir folgen diesem Ansatz und entwickeln analog eine Quantenkodierungstheorie durch Algebraisierung. Die Hauptunterschiede zu bisherigen Ansätzen liegt darin, dass wir nicht nur reine, sondern beliebige Zustände sowie unendlich viele gekoppelte Qubits zulassen. Wir konnten die üblichen Beispiele für Quantenkodes in unsere Theorie integrieren. Das dritte Ergebnis ist, dass die meisten Quantenalgorithmen, einschließlich der Stabilisator- kodes und des Shoralgorithmus, in einem gewissen Sinne kommutativ und somit klassisch sind. Dies nachzuweisen war möglich, da Quantenalgorithmen unter die Definition von Quantenmessprozessen fallen und wir so zeigen konnten, dass sie als Kopplung an einen klassischen Bernoulliprozesses dargestellt werden können. [1] B. Kümmerer, Markov Dilations on W*-Algebras, Journal Functional Analysis, 63:139-177, 1985.