Analysis of Isogeometric Non-Symmetric FEM-BEM Couplings for the Simulation of Electromechanical Energy Converters

The main contribution of this thesis consists in providing a rigorous analysis of non-symmetric isogeometric couplings of the Finite Element Method (FEM) and the direct Boundary Element Method (BEM) for some model problems that are relevant for the simulation of electromechanical energy converters. The corresponding (electro)magnetic subsystem of such a multi-physics problem can be modeled by the eddy-current approximation of Maxwell’s equations. We study this type of models in both the static and quasistationary case, which we formulate in terms of the magnetic vector potential in two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) Lipschitz domains with a general topology. We associate FEM with bounded domains that may be filled with non-linear materials, whereas BEM is applied for bounded and unbounded domains that contain linear materials, i.e., for which a fundamental solution is available. Our analysis is based on the framework of strongly monotone and Lipschitz continuous operators, which also incorporates the required physical properties of the considered non-linear materials. To establish well-posedness and stability of the continuous settings, we use either implicit stabilization (in two dimensions) or a formulation in appropriate quotient spaces (in three dimensions) depending on the specific model. Moreover, we show the quasi-optimality of the method with respect to a conforming Galerkin discretization. For the concrete discretization, we consider an isogeometric framework, in particular, we employ conforming B-Spline spaces for the approximation of the solution, and Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) for geometric modelling. This approach facilitates h- and p-refinements, and avoids the introduction of geometrical errors. In this setting, we derive a priori estimates, and discuss the possible improvement of the convergence rates (super-convergence) of the method, when the pointwise error in func- tionals of the solution (more precisely its Cauchy data) is evaluated in the BEM domain. This improvement may double the usual convergence rates under certain circumstances. The theoretical findings are confirmed through several numerical examples. To validate our approach for the complete electromechanical system, we couple the (electro)magnetic and the mechanical subsystems weakly, and compute the needed forces and/or torques by using the Maxwell Stress Tensor (MST) method. For the sake of illustration, time derivatives are discretized by means of a classical implicit Euler scheme. The results of numerical experiments are in agreement with the expectations and the reference solutions.

Diese Arbeit befasst sich mit der Analyse von isogeometrischen nicht-symmetrischen Kopplungen der Methode der finiten Elemente (FEM, von engl. Finite Element Method) mit der direkten Randelementmethode (BEM, von engl. Boundary Element Method) für Aufgabestellungen, wie sie bei der Modellierung elektromechanischer Energiewandler vorkommen. Das (elektro)magnetische Teilsystem eines solchen multiphysikalischen Problems lässt sich mit der Wirbelstromnäherung der Maxwellschen Gleichungen beschreiben. Sowohl das statische als auch das quasistationäre Verhalten des Systems werden in dieser Arbeit behandelt. Dafür werden Wirbelstromformulierungen auf Basis des magnetischen Vektorpotentials in zwei- und dreidimensionalen Lipschitz-Gebieten hergeleitet. Es werden dabei keine Einschränkungen bezüglich der Topologie der Gebiete vorausgesetzt. Die FEM wird in solchen Gebieten eingesetzt, in denen nichtlineare Materialien zulässig sind. Im Gegensatz dazu ist die Anwendung der BEM auf Gebiete beschränkt, die lineares Materialverhalten aufweisen, da eine Fundamentallösung benötigt wird. Es wird bei der vorliegenden Analyse von der Theorie Lipschitz-stetiger und streng monotoner Operatoren ausgegangen. Diesem theoretischen Rahmen entsprechen auch die physikalischen Eigenschaften der betrachteten nichtlinearen Materialien. Um Wohlgestelltheit der Kopplungen zu zeigen, wird je nachdem entweder eine implizite Stabilisierung eingeführt (in zwei Dimensionen) oder eine Formulierung in geeigneten Quotientenräumen betrachtet (in drei Dimensionen). Außerdem wird die Quasioptimalität der Galerkin-Approximation nachgewiesen. Daraus werden Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung für konforme B-Spline-Räume abgeleitet. Darüber hinaus weist der punktweise Fehler bezüglich Funktionalen der Lösung in BEM-Gebieten eine Verbesserung der Konvergenzraten auf, die unter bestimmten Bedingungen zur Verdopplung dieser Raten führt. Diese Eigenschaft wird Superkonvergenz genannt. Zur Geometriemodellierung werden NURBS (von engl. Non-Uniform Rational B-Splines) benutzt, so dass keine weiteren numerischen Fehler durch die Approximation der Geometrie eingeführt werden. Zusätzlich erleichtert dieses Diskretisierungsverfahren die Durchführung von h- und p-Verfeinerungen. Die theoretischen Resultate werden durch numerische Beispiele validiert. Zur Illustration des gekoppelten elektromechanischen Problems wird das magnetische mit dem mechanischen Teilsystem schwach gekoppelt. Die für die Kopplung benötigten Kräfte und/oder Drehmomente werden mittels des Maxwellschen Spannungstensors ausgehend von den Cauchy-Daten der Lösung des magnetischen Teilsystems berechnet. Bei den zeitabhängigen numerischen Beispielen wird die Zeitdiskretisierung mittels eines klassischen impliziten Euler-Verfahrens durchgeführt. Alle Resultate entsprechen den Erwartungen und den Referenzlösungen.