The Cycle Structure of Random Permutations without Macroscopic Cycles

We consider the Ewens measure on the symmetric group conditioned on the event that no cycles of macroscopic lengths occur and investigate the resulting cycle structure of random permutations without macroscopic cycles when the system size tends to infinity. This probability measure can be represented by cycle weights which depend on the system size. We first establish that the joint distribution of the cycle counts of short cycles is not affected by the conditioning and converges to independent Poisson-distributed random variables in total variation distance. Cumulative cycle numbers of short cycles hence fulfil the same functional central limit theorem as under the classical Ewens measure. Then limit theorems are proved for (the joint distribution of) general individual cycle numbers where the limit strongly depends on the concrete choice of constraint in the conditioning and the cycle lengths in question. Having examined properties related to individual cycle numbers, we turn to the total number of cycles which satisfies a central limit theorem. For cumulative cycle and index numbers we prove the existence of limit shapes and functional limit theorems for the fluctuations about these limit shapes, the limit of the fluctuations being the Brownian bridge. The limit shapes also allow us to determine the asymptotic behaviour of a typical cycle. Lastly, we present findings concerning the distribution of the longest cycles in the model and in this context show convergence of cumulative cycle numbers in a certain regime to a Poisson process.

Wir betrachten das Ewens-Maß auf der symmetrischen Gruppe bedingt auf das Ereignis, dass keine Zykel makroskopischer Länge auftreten. Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß kann durch Zykelgewichte dargestellt werden, welche von der Größe des Systems n abhängen. Ziel ist es, das asymptotische Verhalten der sich ergebenden Zykelstruktur der zufälligen Permuationen ohne makroskopische Zykel im Limes großer n zu beschreiben. Wir zeigen zunächst, dass die gemeinsame Verteilung der Anzahlen in einem präzisen Sinne kurzer Zykel asymptotisch durch die Bedingung nicht beeinflusst wird und in Totalvariationsdistanz gegen unabhängige Poisson-verteilte Zufallsvariablen konvergiert. Aus dieser Tatsache ergibt sich zudem, dass kumulative Anzahlen von Zykeln kurzer Länge denselben funktionalen Grenzwertsatz erfüllen wie unter dem klassischen Ewens-Maß. Im Folgenden werden Grenzwertsätze für die gemeinsame Verteilung von Anzahlen von Zykeln gegebener Länge bewiesen. Der Grenzwert hängt hierbei stark von der konkret gewählten Bedingung und der betrachteten Zykellänge ab. In einem nächsten Schritt stellen wir einen zentralen Grenzwertsatz für die Gesamtzahl der Zykel vor, woraufhin wir das Verhalten kumulativer Zykel- und Indexanzahlen betrachten. Für diese beweisen wir jeweils die Existenz einer Grenzgestalt sowie einen funktionalen Grenzwertsatz für die Fluktuationen um diese Grenzgestalt, wobei die Fluktuationen gegen die Brownsche Brücke konvergieren. Aus den Grenzgestalten können wir zudem Schlüsse über das asymptotische Verhalten eines typischen Zykels ziehen. Des Weiteren bestimmen wir das Verhalten der längsten Zykel und zeigen in diesem Zusammenhang in einem bestimmten Regime Konvergenz kumulativer Zykelanzahlen gegen einen Poisson-Prozess.