On representability of *-regular rings and modular ortholattices

In this thesis a proof is given that simple modular ortholattices possessing a chain with at least five elements (or four if they are arguesian) are coordinatizable by a *-regular ring also with respect to the orthocomplementation. This is based on the fact that their lattice reduct possesses a large partial three-frame and hence satisfies a stricter condition of coordinatization yielding the involution on the coordinatizing ring. Simple modular ortholattices play an important role in the equational theory of modular ortholattices, since any variety of modular ortholattices is generated by its simple members, as shown by Herrmann and Roddy. As a second main result, a characterization of the smallest class V of *-regular rings containing the class A of artinian *-regular rings and closed under homomorphic images (H), products (P) and regular substructures (S_r) is set up. In fact, the elements of V are exactly the *-regular rings that can be embedded into an atomic *-regular ring, resp. the *-regular rings that can be embedded into a product of rings of endomorphisms of some vector spaces with scalar product such that the involution in the regular ring corresponds to the adjunction of endomorphisms. Finally, V is obtained as S_r H S_r P A.

Eines der Hauptergebnisse dieser Arbeit lautet: die einfachen modularen Orthoverbände, die eine Kette mit mindestens fünf Elementen haben (oder vier, falls sie arguesisch sind), sind koordinatisierbar durch einen *-regulären Ring auch bezüglich der Orthokomplementierung. Für den Beweis wird benutzt, dass das Redukt als Verband einen großen partiellen 3-Rahmen hat, und deshalb eine striktere Koordinatisierungsbedingung erfüllt, die die Existenz der Involution auf dem koordinatisierenden Ring garantiert. Die einfachen modularen Orthoverbände spielen tatsächlich eine große Rolle in der Gleichungstheorie der modularen Orthoverbände, da nach Herrmann und Roddy jede Varietät modularer Orthoverbände von ihren einfachen Elementen erzeugt wird. Ein zweites Hauptergebnis ist die Charakterisierung der kleinsten Klasse *-regulärer Ringe V, die die Klasse A der artin'schen *-regulären Ringe umfasst, und unter homomorphen Bildern (H), Produkten (P) und regulären Unterstrukturen (S_r) abgeschlossen ist. Es läßt sich zeigen, dass ein *-regulärer Ring genau dann zu V gehört, wenn er sich in einen atomaren *-regulären Ring einbetten läßt; und das ist äquivalent dazu, dass er sich in ein Produkt von Endomorphismenringen über Vektorräumen mit Skalarprodukt einbetten läßt, sodass die Involution auf dem Ring der Adjunktion für die Endomorphismen entspricht. Schließlich erhält man die Klasse V als S_r H S_r P A.