A colored-noise Fokker-Planck equation for non-Brownian particles in shear-induced diffusion

The topic of the present work are non-Brownian particles in shear flow. As reported in literature, the occurring phenomenon in this context is shear-induced diffusion which takes place in the absence of the well-known Brownian diffusion. Diffusive processes can be described stochastically in terms of a stochastic differential equation (Langevin equation or Langevin-like equation) or a differential equation for the probability density, in second order referred to as Fokker-Planck equation. It is known that in contrast to Brownian diffusion, the shear-induced diffusion is a long-time diffusion which poses a challenge to the stochastic description of this phenomenon. The present work analyzes the problem of non-Brownian particles in shear-induced diffusion with regard to the Markov property of the treated variables. This concludes that the Fokker-Planck equation so far derived in pure position space may not be sufficient. In order to ensure the Markov process property, a Fokker-Planck equation extended to coupled position colored-noise velocity space is derived. Throughout the extension, the colored-noise velocity is modeled as an Ornstein-Uhlenbeck process. These first two steps were also treated in the author’s Master thesis (Lukassen 2012). A detailed substantiation of this approach is published in (Lukassen & Oberlack 2014b) including a new multiple time scale analysis and a Gaussian solution. The multiple time scale analysis results in the dimensionless form of the equation of motion which serves as a starting point for the derivation of the new colored-noise Fokker-Planck equation. As a next step, this coupled Fokker-Planck equation is integrated over velocity space and approximated to yield a reduced position-space Fokker-Planck equation. It is shown that such a reduction as in the present work is only possible under certain conditions concerning the correlation time. The resulting position-space equation is analyzed and compared to the traditional position-space models. The reduced form exhibits additional correction terms. In an outlook, possible extensions of the presented model are discussed with exemplary simulation results. Chapter 5 and 6 as a whole are based on the author’s publication (Lukassen & Oberlack 2014b).

Das Thema der vorliegenden Arbeit sind nicht-Brownsche Partikel in Scherströmung. Obwohl nicht-Brownsche Partikel keine Brownsche Molekularbewegung ausführen, ist aus der Literatur bekannt, dass in diesem Zusammenhang das Phänomen der scher-induzierten Diffusion auftritt. Diffusive Prozesse lassen sich stochastisch beschreiben. Dazu kann eine Langevin Gleichung, beziehungsweise eine Langevin-ähnliche Gleichung herangezogen werden. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Differentialgleichung der Wahrscheinlichkeitsdichte zu benutzen, die in zweiter Ordnung Fokker-Planck Gleichung genannt wird. Es ist bekannt, dass die scher-induzierte Diffusion, im Gegensatz zur Brownschen Diffusion, eine Langzeit-Diffusion ist, was die stochastische Beschreibung erschwert. In dieser Arbeit werden nicht-Brownsche Partikel in Scherströmung mit Hinblick auf die Markov Eigenschaft der zugrunde liegenden Variablen untersucht. Daraus resultiert die Annahme, dass die Fokker-Planck Gleichung, die bisher zur Beschreibung nicht-Brownscher Partikel genutzt wurde, eine Gleichung nur in Ortsvariablen, nicht ausreichend sein könnte. Um die Markov Eigenschaft zu gewährleisten, wird die Fokker-Planck Gleichung hier um den Geschwindigkeitsraum erweitert, wobei die hydrodynamische Geschwindigkeitskomponente als farbiges Rauschen modelliert wird. Basis für das hier aufgestellte Modell ist ein Ornstein-Uhlenbeck Prozess. Diese beiden ersten Schritte sind auch in der Master Arbeit (Lukassen 2012) behandelt worden. Eine substantielle Herleitung wurde in (Lukassen & Oberlack 2014b) veröffentlicht. Darin enthalten ist eine neue Zeitskalenanalyse und eine Gaußsche Lösung der neuen Fokker-Planck Gleichung. Desweiteren wird die gekoppelte Fokker-Planck Gleichung über den Geschwindigkeitsraum integriert und im zweiten Schritt approximiert und die reduzierte Ortsraum Gleichung mit den bisher verwendeten Modellen im Ortsraum verglichen. Diese neue Formulierung weist zusätzliche Korrekturterme auf. Bei einer solchen Reduzierung müssen einschränkende Bedingungen an die Korrelationszeit spezifiziert werden. In einem Ausblick werden mögliche Erweiterungen des vorgestellten Modells erläutert und an exemplarischen Simulationsergebnissen diskutiert. Die Kapitel 5 und 6 basieren auf der Veröffentlichung (Lukassen & Oberlack 2014b).