Error Controlled hp-Adaptive Finite Element Methods for the Time-Dependent Maxwell Equations

This thesis deals with the development and analysis of a discretization method and the error controlled adaptation of spatial and temporal discretizations in context of the time-dependent Maxwell equations. To this end, a hp space-time Galerkin discretization for Maxwell’s equations, allowing for local adaptation of the polynomial approximation order p as well as the local meshsize h, is developed and analyzed. Furthermore, the developed discretization is extended to problems with waveguide structure, in order to efficiently model waveguide ports. For the purpose of local adaptation and control of the global discretization error, a posteriori error estimates for quantities of interest such as scattering parameters or farfield quantities are derived and employed within an hp-adaptive algorithm. While such adjoint based a posteriori error estimates are available for many other problems, its application to the present problem has been newly developed in this thesis.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse einer Diskretisierungsmethode sowie der adaptiven Kontrolle der räumlichen und zeitlichen Diskretisierungsfehler im Rahmen der zeitabhängigen Maxwellgleichungen. Dazu wird eine hp-Galerkin Diskretisierungsmethode, welche die lokale Adaption des Grades der approximierenden Polynome p sowie der Gitterschrittweite h in Raum und Zeit ermöglicht, entwickelt und analysiert. Weiterhin wird die entwickelte Methode mittels speziell angepasster Basisfunktionen dahingehend erweitert, dass Wellenleiterprobleme effizient und genau gelöst werden können. Mit dem Ziel der Kontrolle des globalen Diskretisierungsfehlers, werden a posteriori Fehlerschätzer für von der Lösung der Maxwellgleichungen abgeleitete Größen wie z.B. Streuparameter oder Fernfelder hergeleitet und innerhalb eines Raum-Zeit hp-adaptiven Algorithmus angewendet. Während solche auf der Fehlerdarstellung über das adjungierte Problem basierende Fehlerschätzer bereits für viele andere Gleichungen publiziert wurden, wurde die Anwendung dieser Methode der a posteriori Fehlerschätzung auf die zeitabhängigen Maxwellgleichungen im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelt und implementiert.