Robust Design Optimization of Electric Machines

Electric machines play an important role in a wide range of modern industrial applications, such as the automotive, aerospace, and renewable energy sectors. To meet the increasing demands for performance, reliability, and efficiency, it is necessary to develop robust designs (geometries) that largely maintain their performance even under uncertain material properties and due to manufacturing tolerances. This is precisely what this work addresses by explicitly accounting for these uncertainties and developing a method that enables the efficient determination of robust designs for electric machines. First, a framework is developed that simultaneously enables shape and parameter optimization with the help of Isogeometric Analysis. For this, gradients are calculated with respect to control points as well as with respect to design parameters, which efficiently enables the combined optimization of multiple objective functions such as cost, average torque, and variance of the torque. For the analysis of different conflicting objectives, a predictor-corrector method based on second derivatives is used. This enables an efficient exploration of the Pareto front and reduces the computational effort by exploiting the local superlinear convergence. However, since no uncertainties have been considered in this model so far, the designs found are sensitive w.r.t to parameters. Therefore, the method is extended by considering uncertainties that can be result, for example, by production tolerances. The problem is then formulated as a min-max problem in order to find solutions that guarantee a reliable performance even under the most unfavorable modeled scenarios w.r.t to a predefined uncertainty set. To solve this explicitly robust problem, an efficient algorithm was developed that uses generalized derivatives and can be directly appliedto other applications. The additional computational cost in the optimization resulting from this remains within a reasonable factor, while the robustness of the electrical machine is significantly increased because the designs are less sensitive to the considered uncertainties. Finally, this principle is then applied to topology optimization under parameter uncertainties by showing the existence of a robust topological derivative and applying it in a level-set algorithm. This robust derivative results from evaluating the classical topological derivative for the most unfavorable parameter value and thus extends the concept of the classical topological derivative for robust problems. Using the example of a synchronous machine, it is shown in numerical tests that with this method a design can be found with which the performance in the worst case scenario can be significantly increased, without the nominal performance (without consideration of the uncertainties) being substantially worsen. The additional costs that arise during the calculation of the robust design also remain, as with the parameter and shape optimization, manageable(4-10 times higher compared to the nominal optimization).

Overall, the results show that a robust shape and parameter optimization as well as a robust topology optimization of electrical machines can be done efficiently, which could bring an added value for the industry. In conclusion, based on the findings, this thesis proposes several promising possibilities for further research.

Elektrische Maschinen spielen eine Schlüsselrolle in einer Vielzahl moderner industrieller Anwendungen, z. B. in der Automobil-, Luft- und Raumfahrtindustrie sowie in Systemen zur Nutzung erneuerbarer Energien. Um den steigenden Anforderungen an Leistung, Zuverlässigkeit und Effizienz gerecht zu werden, ist die Entwicklung robuster Designs (Geometrien) erforderlich, die ihre Leistungsfähigkeit auch unter unsicheren Materialeigenschaften und aufgrund von Produktionstoleranzen weitgehend erhalten. Genau damit beschäftigt sich diese Arbeit, indem sie diese Unsicherheiten explizit berücksichtigt und eine Methode entwickelt, die es ermöglicht, robuste Designs für elektrische Maschinen effizient zu bestimmen.

Zunächst wird ein Framework entwickelt, das gleichzeitig Form- und Parameteroptimierung mit Hilfe von Isogeometrischer Analysis ermöglicht. Dabei werden Gradienten sowohl in Bezug auf Kontrollpunkte als auch in Bezug auf Designparameter berechnet, was die simultane Optimierung mehrerer Zielfunktionen wie Kosten, Drehmomentmittelwert und Varianz des Drehmoments effizient ermöglicht. Zur Analyse unterschiedlicher Zielkonflikte wird ein auf zweiten Ableitungen basierendes Prädiktor-Korrektor-Verfahren eingesetzt. Dieses ermöglicht eine effiziente Exploration der Pareto-Front und reduziert den Rechenaufwand durch das Ausnutzen der lokalen superlinearen Konvergenz. Da in diesem Modell bislang jedoch keine Unsicherheiten berücksichtigt wurden, reagieren die bisher gefundenen Designs sensitiv auf Abweichungen in Material- oder Fertigungsparametern. Deswegen wird das Verfahren erweitert, indem Unsicherheiten, die beispielsweise durch Produktionstoleranzen verursacht werden können, berücksichtigt werden. Das Problem wird dann als Min-Max-Problem formuliert, um Lösungen zu finden, die selbst unter den ungünstigsten modellierten Szenarien eine zuverlässige Performance garantieren. Zur Lösung dieses explizit robusten Problems wurde ein effizienter Algorithmus entwickelt, der verallgemeinerte Ableitungen nutzt und sich direkt auf andere Anwendungen übertragen lässt. Der dadurch entstehende Mehraufwand in der Optimierung bleibt in einem vertretbaren Rahmen, während die Robustheit der elektrische Machine deutlich erhöht wird, weil die Designs weniger sensitiv gegenüber den berücksichtigen Unsicherheiten sind. Schließlich wird dieses Prinzip auf die Topologieoptimierung unter Parameterunsicherheiten übertragen, indem die Existenz einer robusten Topologieableitung gezeigt wird und in einem Level-Set-Algorithmus angewendet wird. Diese robuste Ableitung ergibt sich aus dem Auswerten der klassischen topologischen Ableitung für den ungünstigsten Parameterwert und erweitert damit das Konzept der klassischen topologischen Ableitung für robuste Probleme. Am Beispiel einer Synchronmachine wird in numerischen Tests gezeigt, dass mit dieser Methode ein Design gefunden wernden kann, welches die Leistung im worst case Szenario signifikant erhöht werden kann, ohne dass die nominale Leistung (ohne Berücksichtigung der Unsicherheiten) wesentlich beeinträchtigt wird. Die zusätzlichen Kosten, die bei der Ausrechnung des robusten Designs entstehen, halten sich ebenfalls wie bei der Parameter- und Shape-Optimierung im angemessenen Rahmen (4-10 mal höher im Vergleich zur nominalen Optimierung).

Insgesamt zeigen die Ergebnisse, dass eine robuste Form- und Parameteroptimierung sowie eine robuste Topologieoptimierung elektrischer Maschinen effizient durchführbar sind und somit einen Mehrwert für die Industrie bringen könnten. Abschließend schlägt die Arbeit auf Basis der gewonnenen Erkenntnisse mehrere vielversprechende Möglichkeiten für weiterführende Forschungsarbeiten vor.