A Lattice Boltzmann Method for Elastodynamics

Lattice Boltzmann methods (LBM) have become a well-established tool in fluid dynamics due to their simplicity, efficiency, and ability to handle complex geometries. In recent years, interest has grown in extending LBM to solid mechanics in order to exploit the same advantages. This work presents SolidLBM, a framework for elastodynamics based on the moment-chain approach. The method targets the solution of the balance laws for linear elastic materials and is presented in a modular fashion. This provides an in-depth account of the framework, including implementation details. The algorithms follow the same philosophy, provided as an open-source Python package that serves as the reference implementation of the framework. The behaviour of the method is first analysed with the BGK collision operator, followed by a systematic investigation of stability. This leads to the introduction of a two-relaxation-time (TRT) scheme. An optimisation-based parameter study provides guidance for the choice of relaxation parameters. Benchmark problems demonstrate the viability of the approach, with validation against finite element simulations and an investigation into the convergence behaviour. Examples of wave propagation in rods and beams are provided, showcasing the method’s ability to capture complex wave phenomena. The aspect of dissipation is regarded as an important factor in the simulation process. A comparative performance analysis highlights the computational efficiency of the method. The results establish SolidLBM as a capable and efficient approach for simulating elastodynamics. This work thoroughly discusses the capabilities and limitations of the proposed method. Avenues for future research and potential improvements are outlined, paving the way for further advancements in the field of lattice Boltzmann methods for solids. Beyond elastodynamics, the framework is extended to fracture mechanics. A dynamic lattice update algorithm is developed to simulate crack propagation, with a fracture criterion derived from configurational forces. The assessment of the fracture algorithm is conducted via a series of numerical tests, demonstrating its effectiveness in capturing crack propagation. The results indicate that the proposed method is capable of simulating fracture processes in brittle materials. This opens up new possibilities for using lattice Boltzmann methods in the study of fracture mechanics. Limitations in the approach and the coupling to the LBM are discussed, highlighting the need for further research in this area. The results underline both the opportunities of LBM in solid and fracture mechanics, and the challenges that remain, providing a clear basis and direction for future developments.

Lattice-Boltzmann-Methoden (LBM) haben sich in der Strömungsmechanik etabliert, unter anderem aufgrund ihrer Einfachheit, Effizienz und der Fähigkeit, komplexe Geometrien zu behandeln. In den vergangenen Jahren ist das Interesse gewachsen, LBM auch auf Probleme der Festkörpermechanik zu bertragen, um von denselben Vorteilen zu profitieren. In dieser Arbeit wird mit SolidLBM ein Modell für die Elastodynamik vorgestellt, das auf dem Ansatz der Momentenkette basiert. Die Methode zielt auf die Lösung der Bilanzgleichungen ab, mit linear-elastischem Materialgesetz. Die Einführung dieser Methode erfolgt in modularer Form. Damit wird ein umfassender Überblick über das Verfahren gegeben, einschließlich wichtiger Aspekte der Implementierung. Die Algorithmen folgen derselben Philosophie und stehen in Form eines quelloffenen Python-Pakets zur Verfügung, das als Referenzimplementierung dient. Zunächst wird das Verhalten der Methode mit dem BGK-Kollisionsoperator untersucht und eine systematische Stabilitätsanalyse erfolgt. Dies führt zur Einführung des Two-Relaxation-Time-Schemas, das auf zwei unabhängigen Relaxationszeiten basiert. Eine optimierungsbasierte Parameterstudie gibt Orientierung für die Wahl geeigneter elaxationsparameter. Benchmark-Probleme belegen die Leistungsfähigkeit des Ansatzes, validiert durch Finite-Elemente-Simulationen und eine Untersuchung des Konvergenzverhaltens. Beispiele zur Wellenausbreitung in Stäben und Balken verdeutlichen die Fähigkeit der Methode, komplexe Wellenphänomene abzubilden. Hierbei wird auch die Dissipation als wichtiger Aspekt betrachtet. Eine vergleichende Performance-Analyse hebt zudem die rechnerische Effizienz hervor. Die Ergebnisse zeigen, dass SolidLBM einen leistungsfähigen und effizienten Ansatz zur Simulation von Elastodynamik darstellt. Die Arbeit diskutiert die Möglichkeiten und Grenzen der Methode ausführlich. Darüber hinaus werden Perspektiven für zukünftige Forschung und mögliche Erweiterungen aufgezeigt, die den Weg für weitere Fortschritte im Bereich der Lattice-Boltzmann-Methoden für Festkörper ebnen. Über die Elastodynamik hinaus wird das numerische Modell auf die Bruchmechanik erweitert. Ein Algorithmus zur dynamischen Anpassung des Gitters wird entwickelt, um Rissfortschritt zu simulieren. Das Bruchkriterium wird von Konfigurationskräften abgeleitet. Die Bewertung des Algorithmus erfolgt anhand einer Reihe numerischer Tests, die seine Eignung zur Simulation von Rissausbreitung bestätigen. Die Ergebnisse belegen, dass die vorgeschlagene Methode Bruchprozesse in spröden Materialien erfassen kann. Damit eröffnen sich neue Möglichkeiten für den Einsatz von LBM in der Bruchmechanik. Gleichzeitig werden die aktuellen Einschränkungen der Methodik selbst, und jenen aus der Kopplung an die LBM heraus, diskutiert. Dies zeigt den Bedarf an weiterer Forschung und Verbesserung auf. Die Resultate verdeutlichen sowohl das Potenzial der LBM in der Festkörper- und Bruchmechanik als auch die noch bestehenden Herausforderungen und liefern eine klare Grundlage für die zukünftige Weiterentwicklung.