A Variational Calculus for the Optimal Control of Networks of Scalar Conservation or Balance Laws

Scalar conservation and balance laws on networks provide a versatile framework for modeling a wide range of significant real-world problems. Prominent applications include road traffic flow, data transmission, gas pipeline networks, building evacuation scenarios, and blood flow in the human body. All these phenomena can be described mathematically by scalar conservation laws posed on networks. The analysis of such hyperbolic problems is highly challenging. On the one hand, the classical solution concept must be replaced by that of entropy solutions, a distinguished class of weak solutions. On the other hand, entropy solutions are intrinsically complicated by discontinuities that propagate along shock curves. Motivated by numerous applications, it is natural to consider the optimal control of such systems via the selection of suitable initial and boundary data. A key requirement in this context is to characterize the influence of the control on the solution in sufficient detail to obtain continuous differentiability with respect to the control when evaluating tracking-type objective functionals. The idea of decomposing the variation of an entropy solution at a fixed time into variations of discontinuities and variations of smoother solution segments led to the concept of shift differentiability for entropy solutions. This concept provides a derivative of the solution at a fixed time in the topology of integrable functions. Under appropriate assumptions, this allows one to deduce the desired differentiability of tracking-type objective functionals that evaluate the solution at that time. Over the past decade, these results have been extended substantially. Initially, the control acted only on the initial data and the shock positions induced by the initial data. More recent developments allow for control via boundary data as well as for the individual control of centers of rarefaction waves. The present work extends these results to problems posed on networks. Scalar conservation and balance laws on networks are strongly influenced by the choice of node conditions, which connect adjacent edges of the network by prescribing coupling relations between their respective solutions. In this thesis, we introduce a new class of node conditions for which we establish the desired results in optimal control. This class enables potential applications of our theory to other node conditions considered in the literature, which we illustrate by means of an example. The analysis of node conditions requires a first extension of existing results. In particular, we prove that the flux of a solution at the boundary is shift differentiable. In contrast to considering a spatial interval at a fixed time, this setting involves the evaluation over a time interval at a fixed spatial location, which gives rise to additional analytical challenges. Furthermore, we analyze a coupling of classical problems with initial and boundary data, where the trace of the solution of one problem determines the initial or boundary data of another. We extend this coupling framework to networks equipped with node conditions from our class and thereby obtain the main result of this work. We prove the shift differentiability of solution operators for scalar conservation and balance laws on network problems subject to node conditions from our class. As a consequence, we establish the continuous differentiability of certain tracking-type objective functionals that evaluate the solution either over a spatial interval at a fixed time or over a time interval at a boundary point. Finally, under suitable assumptions, we demonstrate how these results can be extended to networks with other types of node conditions, which we exemplify in a concluding application.

Netzwerke von skalaren Erhaltungs- und Bilanzgleichungen bieten eine Vielzahl an Möglichkeiten für die Modellierung bedeutender Problemstellungen. Zu den zahlreichen Möglichkeiten zählen die Modellierung von Straßenverkehr, Datentransfer, Pipelines für Gasnetzwerke, die Evakuierung von Gebäuden oder der Blutfluss im menschlichen Körper. All diese Probleme lassen sich mathematisch über skalare Erhaltungsgleichungen auf Netzwerken darstellen. Dabei ist die Analysis dieser hyperbolischen Probleme sehr anspruchsvoll, da man einerseits den klassischen Lösungsbegriff gegen den der Entropielösung (einer besonderen schwachen Lösung) eintauschen muss, als auch diese Entropielösung durch Unstetigkeiten, welche sich entlang gewisser Schockkurven ausbreiten, hochgradig verkompliziert wird. Zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten motivieren das Ziel, Probleme dieser Art durch die Auswahl von Start- und Randdaten zu steuern. Dabei ist es entscheidend den Einfluss einer solchen Steuerung auf die Lösung soweit darstellen zu können, dass wir für deren Auswertung in Zielfunktionalen die stetige Differenzierbarkeit bezüglich der Steuerung erhalten. Der Ansatz, die Variation einer Entropielösung für einen fixen Zeitpunkt in eine Variation von Unstetigkeiten und eine Variation von glatteren Abschnitten zu diesem Zeitpunkt zu teilen, hat in der Vergangenheit das Konzept der Shift-Differenzierbarkeit für Entropielösungen begründet. Hiermit lässt sich für die Lösung in jenem fixen Zeitpunkt eine Ableitung in der Topologie integrierbarer Funktionen finden. Dieses erlaubt unter geeigneten Bedingungen auf die gewünschte Differenzierbarkeit gewisser Zielfunktionale vom Tracking-Typ zu schließen, welche die Lösung in diesem Zeitpunkt auswerten. Im vergangenen Jahrzehnt ist dieses Resultat mehrfach erweitert worden, sodass statt einer Steuerung, die sich erst nur auf Startdaten und die Schockpositionen der Startdaten bezog, nun auch eine Steuerung über Randdaten sowie eine individuelle Steuerung von Zentren von Verdünnungswellen möglich ist. Diese Arbeit beschäftigt sich nun mit einer Erweiterung dieser Resultate auf Probleme auf Netzwerken. Probleme skalarer Erhaltungs- und Bilanzgleichungen auf Netzwerken sind stark von der Wahl der Knotenbedingung bestimmt, welche angrenzende Kanten eines Netzwerkes verbindet, indem es deren Lösungen mit gewählten Kopplungsbedingungen zueinander in Beziehung setzt. In dieser Arbeit werden wir eine neue Klasse von Knotenbedingungen einführen, für welche wir eine Erweiterung der gewünschten Resultate zur optimalen Steuerung zeigen. Diese Klasse bietet potentielle Anwendungsmöglichkeiten dieser Resultate auf andere Knotenbedingungen in der bekannten Literatur, was wir auch an einem Beispiel illustrieren werden. Die Analysis der Knotenbedingungen wird eine erste Erweiterung der bekannten Resultate erfordern, wofür wir zeigen werden, dass der Fluss einer Lösung im Rand Shift-differenzierbar ist. Hier wird statt eines Ortsintervalls in festen Zeitpunktes nun auch in einem festen Ort ein Zeitintervall betrachtet, was zusätzliche Herausforderungen liefert. Desweiteren, werden wir eine Kopplung von klassischen Problemen mit Start- und Randdaten analysieren, wobei die Lösung eines Problems mit ihrer Spur die Start- oder Randdaten eines anderen Problems bestimmt. Diese Kopplung werden wir mit unserer Klasse von Knotenbedingungen auf Netzwerke erweitern und so das Hauptresultat dieser Arbeit erhalten. Wir zeigen damit die Shift-Differenzierbarkeit von Lösungsoperatoren skalarer Erhaltungs- und Bilanzgleichungen auf Netzwerkproblemen für Knotenbedingungen unserer Klasse. Weiterhin folgern wir die stetige Differenzierbarkeit gewisser Zielfunktionale vom Tracking-Typ, welche eine Lösung entweder in einem Ortsintervall zu einem festen Zeitpunkt oder über ein Zeitintervall an einem Rand auswertet. Eine Erweiterung auf Netzwerke anderer Knotenbedingungen ist unter geeigneten Bedingungen möglich und wird abschließend an einem Beispiel ausgeführt.