Two Geometric Realizations of an Affine Hecke Algebra for Twisted Groups

Motivated by recent generalizations of the geometric Satake equivalence, we extend Bezrukavnikov’s derived equivalence between constructible sheaves on affine flag varieties and equivariant coherent sheaves on the Steinberg variety to the setting of tamely ramified non-split reductive groups.

We construct a monoidal equivalence between the derived category of L⁺ℐ-equivariant constructible sheaves on the twisted affine flag variety and the derived category of Ğᴵ-equivariant coherent sheaves on the derived Steinberg variety of the Langlands dual group. A central ingredient in our approach is an extension of the Arkhipov–Bezrukavnikov equivalence for Iwahori–Whittaker sheaves to the non-split setting. This extension enables the use of averaging functors and the theory of tilting objects in highest weight categories to overcome the lack of a factorization for the central functor, a key obstruction in the non-split case.

We further establish monodromic and completed variants of the main equivalence and describe their compatibility with convolution. These results provide a new categorical framework for understanding the local Langlands correspondence in the non-split context and lay the foundation for future applications to the ramified geometric Langlands program.

Motiviert durch Verallgemeinerungen der geometrischen Satake-Äquivalenz erweitern wir Bezrukavnikovs abgeleitete Äquivalenz zwischen konstruierbaren Garben auf affinen Flaggenvarietäten und äquivarianten kohärenten Garben auf der Steinberg-Varietät auf den Fall von zahm verzweigten, nicht-spaltenden reduktiven Gruppen.

Wir konstruieren eine monoidale Äquivalenz zwischen der abgeleiteten Kategorie der L⁺ℐ-äquivarianten konstruierbaren Garben auf der getwisteten affinen Flaggenvarietät und der abgeleiteten Kategorie der Ğᴵ -äquivarianten kohärenten Garben auf der abgeleiteten Steinberg-Varietät der Langlands-Dual Gruppe. Ein zentrales Element unseres Ansatzes ist eine Erweiterung der Arkhipov–Bezrukavnikov-Äquivalenz für Iwahori–Whittaker-Garben auf den nicht-spaltenden Fall. Diese Erweiterung ermöglicht den Einsatz von Mittelungsfunktoren und der Theorie der kippbaren Objekte in höchsten Gewichtskategorien, um das Fehlen einer Faktorisierung des zentralen Funktors zu umgehen – ein wesentliches Hindernis in der nicht-spaltenden Situation.

Darüber hinaus etablieren wir monodromische und vervollständigte Varianten der Hauptäquivalenz und beschreiben ihre Verträglichkeit mit der Faltung. Diese Ergebnisse liefern einen neuen kategorischen Rahmen für das Verständnis der lokalen Langlands-Korrespondenz im nicht-spaltenden Kontext und legen das Fundament für zukünftige Anwendungen im verzweigten geometrischen Langlands-Programm.