Structure and Dynamics of Networks

Networks have become a general concept to model the structure of arbitrary relationships among entities. The framework of a network introduces a fundamentally new approach apart from classical' structures found in physics to model the topology of a system. In the context of networks fundamentally new topological effects can emerge and lead to a class of topologies which are termed complex networks'. The concept of a network successfully models the static topology of an empirical system, an arbitrary model, and a physical system. Generally networks serve as a host for some dynamics running on it in order to fulfill a function. The question of the reciprocal relationship among a dynamical process on a network and its topology is the context of this Thesis. This context is studied in both directions. The network topology constrains or enhances the dynamics running on it, while the reciprocal interaction is of the same importance. Networks are commonly the result of an evolutionary process, e.g. protein interaction networks from biology. Within such an evolution the dynamics shapes the underlying network topology with respect to an optimal achievement of the function to perform. Answering the question what the influence on a dynamics of a particular topological property has requires the accurate control over the topological properties in question. In this Thesis the degree distribution, two-point correlations, and clustering are the studied topological properties. These are motivated by the ubiquitous presence and importance within almost all empirical networks. An analytical framework to measure and to control such quantities of networks along with numerical algorithms to generate them is developed in a first step. Networks with the examined topological properties are then used to reveal their impact on two rather general dynamics on networks. Finally, an evolution of networks is studied to shed light on the influence the dynamics has on the network topology.

Netzwerke stellen einen allgemeinen Ansatz dar, die Struktur von beliebig miteinander verknüpften Einheiten zu modellieren. Das Konzept eines Netzwerkes ermöglicht die Abbildung von Strukturen, die sich grundlegend von "klassischen" Strukturen aus der Physik unterscheiden. So können durch Netzwerke neue topologische Effekte entstehen, welche eine besondere Klasse von Netzwerken darstellen und auch "komplexe Netzwerke" genannt werden. Im Allgemeinen modelliert ein Netzwerk die statische Topologie eines empirischen Systems, eines beliebigen Modells und eines physikalischen Systems. Im Gegensatz dazu ist eine auf dem Netzwerk ablaufende Dynamik verantwortlich für die Verrichtung einer Funktion des Netzwerkes. Der Zusammenhang von Topologie und Dynamik eines Netzwerkes ist Thema dieser Arbeit. Die Topologie eines Netzwerkes bedingt die Eigenschaften einer darauf ablaufen Dynamik. Gleichzeitig aber beeinflusst die Dynamik die zugrunde liegende Topologie, da Netzwerke wie z.B. biologische Protein-Interaktionsnetzwerke das Resultat eines evolutionären Prozesses darstellen. Eine solche Netzwerkevolution wirkt auf die Topologie des Netzwerkes durch Selektion auf Basis der Dynamik. Die aufgeworfene Fragestellung bedingt folglich auch eine reziproke Untersuchung. Voraussetzung für eine Analyse des Einflusses von topologischen Eigenschaften auf einen dynamischen Prozess ist die präzise Kontrolle über die untersuchten Eigenschaft der Netzwerktopologie. In dieser Arbeit wird der Einfluss der Gradverteilung, Zweipunktkorrelationen und Clustering studiert. Diese Netzwerkeigenschaften sind durch die Präsenz in praktisch allen empirischen Netzwerken motiviert. Zunächst wird eine analystische Beschreibung dieser topologischen Eigenschaften eingeführt, sowie numerische Verfahren zur Erzeugung solcher Netzwerke vorgestellt. Daraufhin werden Netzwerke mit den fraglichen Eigenschaften genutzt, um ihre Wirkung auf zwei generische Dynamiken zu verstehen. Zur Analyse der Einflußnahme der Dynamik auf die Topologie eines Netzwerkes, wird eine durch die Dynamik getriebene Netzwerkevolution untersucht.