# Transient and Stationary Properties of the Olami-Feder-Christensen Earthquake Model in One and Two Dimensions

### Wissel, Felix (2007)Transient and Stationary Properties of the Olami-Feder-Christensen Earthquake Model in One and Two Dimensions. Technische Universität DarmstadtPh.D. Thesis, Primary publication

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Transient and Stationary Properties of the Olami-Feder-Christensen Earthquake Model in One and Two Dimensions
Language: English
Referees: Drossel, Prof. Dr. Barbara ; Grewe, Prof. Dr. Norbert
Date: 16 November 2007
Date of oral examination: 4 July 2007
Abstract:

The earthquake model by Olami, Feder, and Christensen (OFC) is one of the most striking examples of models that are discussed in the context of self-organized criticality. A key feature of self-organized critical systems is the size distribution of avalanche-like events according to a power law, $n(s)\sim s^{-\tau}$. The OFC model gained its prominent position not at last due to the possibility to tune the degree of dissipation in the system by means of a continuous coupling parameter, $\alpha$. On the other hand, exactly this lack of a local conservation law led to an ongoing discussion, whether the model displays self-organized critical properties for all values of the coupling, and if so, whether the critical exponent $\tau$ is affected by a change in $\alpha$. Of equal interest are the transient properties of the OFC model, especially how the transient time behaves as function of the system size $L$, and whether the dependency can be described by another, possibly universal, critical exponent. Understanding the limits of small couplings $\alpha$ and large system sizes $L$ is particularly important to answer these questions. This thesis investigates the transient and stationary properties of the OFC model in one and two dimensions and answers these long-standing questions. In both cases, $d=1$ and $d=2$, the system is driven towards the stationary state by the open boundary conditions and nonlinear terms in the coupling. These two ingredients result in a synchronization effect, which is observed in an adjustment of neighboring lattice sites: a central property of the two-dimensional system is the formation of long-lived patches. In one dimension, only one or two synchronized blocks emerge, which is a result of the reduced geometry. The transient time, $T$, is shown to be linear in the system size in one dimension, while it increases in two dimensions as $T(L)\sim L^{\tilde\mu}$. The exponent $\tilde\mu$ is a rapidly increasing function as the coupling $\alpha$ decreases, and probably diverges for $\alpha\to 0$. The latter is also valid for the transient time as function of $\alpha$ in one dimension, but for not too small couplings up to the conservative case, $T(\alpha)$ shows an exponential decay with increasing $\alpha$. In the stationary state, the one-dimensional OFC systems splits into two boundary layers and a synchronized center. The size distribution of avalanches has peaks at avalanche sizes of the order of the system size and a low size regime. While these peaks are independent of the coupling and have a relative weight of the order of $\mathcal{O}(1/L)$, the exact shape of the distributions for small avalanches depends on $\alpha$, and the weight of avalanches of size 1 eventually reaches unity for $L\to\infty$. In two dimensions, the size distribution is also dominated by avalanches of size 1. In contrast to the one-dimensional case, $n(s)$ is broad and can be described by a log-normal distribution, $n(s)\sim s^{-\tau -\sigma\ln s}$. The weight of the tail decreases as $1/L$, and both the coefficients in the exponent depend on $\alpha$.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Das Erdbebenmodell von Olami, Feder und Christensen (OFC) ist eines der bemerkenswertesten Beispiele für diejenigen Modelle, die im Rahmen der Selbstorganisierten Kritikalität diskutiert werden. Eine Schlüsseleigenschaft selbstorganisiert kritischer Systeme ist die Verteilung lawinenartiger Ereignisse gemäß eines Potenzgesetzes $n(s)\sim s^{-\tau}$. Das OFC-Modell hat seine herausragende Rolle nicht zuletzt deshalb verdient, weil in dem System der Grad der Dissipation durch einen kontinuierlichen Kopplungsparameter $\alpha$ eingestellt werden kann. Andererseits hat gerade das Fehlen eines lokalen Erhaltungssatzes zu einer anhaltenden Diskussion darüber geführt, ob das Modell für alle Werte der Kopplung selbstorganisiert kritische Eigenschaften aufweist, und wenn, ob der kritische Exponent $\tau$ von einer änderung in $\alpha$ betroffen ist oder nicht. Gleichermaßen interessant sind die transienten Eigenschaften des OFC-Modells, insbesondere, wie sich die transiente Zeit als Funktion der Systemgröße $L$ verhält und ob sich die Abhängigkeit durch einen anderen - möglicherweise universellen - Exponenten beschreiben lässt. Besonders wichtig um diese Fragen zu beantworten, ist es, die Grenzfälle kleiner Kopplung und großer Systeme zu verstehen. Diese Doktorarbeit untersucht die transienten und stationären Eigenschaften des OFC-Modells in einer und zwei Dimensionen und beantwortet diese schon lange offenen Fragen. In beiden Fällen $d=1$ und $d=2$ wird das System durch die offenen Randbedingungen und nichtlineare Terme in der Kopplung in den stationären Zustand getrieben. Diese beiden Zutaten führen zu einem Synchronisationseffekt, der in einem Sich-Angleichen benachbarter Gitterplätze beobachtet wird: Eine zentrale Eigenschaft des zweidimensionalen Systems ist die Bildung von langlebigen Flecken. In einer Dimension bilden sich nur ein oder zwei synchronisierte Bereiche heraus, was eine Folge der beschränkten Geometrie ist. Es wird gezeigt, dass die transiente Zeit $T$ in einer Dimension linear mit der Systemgröße anwächst, während sie in zwei Dimensionen wie $T(L)\sim L^{\tilde\mu}$ ansteigt. Der Exponent $\tilde\mu$ ist eine schnell anwachsende Funktion für fallende Kopplung $\alpha$ und divergiert möglicherweise für $\alpha\to 0$. Letzteres gilt auch für die transiente Zeit als Funktion von $\alpha$ in einer Dimension, aber für nicht zu kleine Kopplungen bis hin zum konservativen Fall zeigt $T(\alpha)$ einen exponentiellen Abfall für ansteigende $\alpha$. Im stationären Zustand spaltet sich das eindimensionale OFC-System in zwei Grenzschichten und ein synchronisiertes Zentrum auf. Die Größenverteilung der Lawinen zeigt Spitzen bei Lawinengrößen von der Ordnung der Systemgröße und einen Bereich kleiner Größ en. Während diese Spitzen unabhängig von der Kopplung sind und eine relative Gewichtung von der Ordnung $\mathcal{O}(1/L)$ haben, hängt der genaue Verlauf der Verteilung für kleinere Lawinen von $\alpha$ ab und das Gewicht von Lawinen der röße 1 erreicht schließlich 1 für $L\to\infty$. In zwei Dimensionen ist die Größenverteilung ebenfalls von Lawinen der Größe 1 dominiert. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall ist $n(s)$ breiter und lässt sich durch eine Log-Normalverteilung $n(s)\sim s^{-\tau -\sigma\ln s}$ beschreiben. Das Gewicht des Ausläufers fällt wie $1/L$ ab und die beiden Koeffizienten im Exponenten hängen von $\alpha$ ab.

German
Uncontrolled Keywords: selbstorganisiert, zellulaer, Lawine, Gutenberg, Richter
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
selbstorganisiert, zellulaer, Lawine, Gutenberg, RichterGerman
selforganized, criticality, avalanches, earthquake, model, cellular, automaton, Gutenberg, RichterEnglish
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-8892
Divisions: 05 Department of Physics
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22