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Beiträge zur Analyse und Bewertung von 3D-Spannungssingularitäten mittels einer angereicherten Skalierte-Rand-Finite-Elemente-Methode

Hell, Sascha :
Beiträge zur Analyse und Bewertung von 3D-Spannungssingularitäten mittels einer angereicherten Skalierte-Rand-Finite-Elemente-Methode.
Technische Universität, Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2018)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Beiträge zur Analyse und Bewertung von 3D-Spannungssingularitäten mittels einer angereicherten Skalierte-Rand-Finite-Elemente-Methode
Language: German
Abstract:

Im Rahmen dieser Arbeit wird demonstriert, wie mit Hilfe der Skalierte-Rand-Finite-Elemente-Methode sowohl die Analyse als auch die Bewertung von 3D-Spannungssingularitäten effizient durchgeführt werden kann.

Spannungssingularitäten sind Orte mit theoretisch unendlich großer Materialbeanspruchung. In der Realität können natürlich keine unendlichen Beanspruchungswerte vorliegen, da sie vorher durch lokale inelastische Verformungen, wie Materialfließen oder die Mikrorissbildung, abgebaut werden. Dennoch stehen Spannungssingularitäten als Idealisierung häufig im Fokus einer Versagensbewertung hochbelasteter Strukturbauteile.

Diese Arbeit widmet sich einer Untergruppe von Spannungssingularitäten: Punktsingularitäten (oder auch 3D-Spannungssingularitäten), die ein charakteristisches dreidimensionales Abklingverhalten aufweisen und gleichzeitig Liniensingularitäten enthalten. Liniensingularitäten existieren beispielsweise entlang von Rissfronten, Kerbfronten oder Kanten von Materialfügungen und treten entsprechend häufig in technischen Anwendungen auf. Im Gegensatz zu Punktsingularitäten weisen sie ein charakteristisches zweidimensionales Abklingverhalten auf und werden daher auch als 2D-Spannungssingularitäten bezeichnet. Im Allgemeinen sind überall dort, wo Liniensingularitäten eine Unstetigkeit erfahren, also beispielsweise an einem Bauteilrand enden, ihre Richtung ändern oder auf eine andere Liniensingularität treffen, 3D-Spannungssingularitäten zu erwarten.

Die Analyse von Spannungssingularitäten stellt sich besonders anspruchsvoll dar, weil hier sehr hohe Spannungsgradienten abzubilden sind. Gerade in 3D-Problemstellungen führen meist nur noch numerische Verfahren wie die weit verbreitete Finite-Elemente-Methode (FEM) zu einer Lösung. Hierbei ergibt sich die Problematik, dass die in der FEM verwendeten, einfachen Ansatzpolynome diese hohen Gradienten nur unzureichend annähern. Es resultiert eine verminderte Konvergenzrate und Genauigkeit der numerischen Lösung. Dadurch wird eine sehr feine Diskretisierung mit sehr vielen Freiheitsgraden notwendig und der Berechnungsaufwand fällt entsprechend groß aus.

In der vorliegenden Arbeit kommt die semi-analytische Skalierte-Rand-Finite-Elemente-Methode (engl.: Scaled Boundary Finite Element Method, SBFEM) zur Analyse von 3D-Spannungssingularitäten zum Einsatz. Sie beinhaltet eine Diskretisierung allein des Gebietsrandes und bietet eine analytische Betrachtung in der radialen Richtung zur Punktsingularität hin. Die hohen Gradienten in dieser (radialen) Richtung können so analytisch abgebildet werden. Um den ebenfalls auftretenden Liniensingularitäten angemessen Rechnung zu tragen, wird eine angereicherte Formulierung der SBFEM (engl.: enriched SBFEM / enrSBFEM) vorgeschlagen und in MATLAB implementiert: Der klassische Separationsansatz für die Verschiebungen wird hierbei um 2D-Nahfeldlösungen der Liniensingularitäten ergänzt, sodass auch diese adäquat abgebildet werden. Dadurch werden die gewünschten Konvergenzraten sowie eine hohe Genauigkeit der Lösung erlangt und der Berechnungsaufwand kann wesentlich reduziert werden. Die Entwicklung und Implementierung einer Spannungsglättung, die der neuen, angereicherten Formulierung der SBFEM angepasst ist, macht die Methode schließlich zu einem äußerst genauen und effizienten Werkzeug für die Spannungsanalyse von Struktursituationen mit 3D-Spannungssingularitäten. Dies wird anhand einiger Beispiele gezeigt.

Zu einer Einordnung, wie kritisch eine Spannungssingularität zu bewerten ist, können zunächst ihre zugehörigen Singularitätsexponenten herangezogen werden. Diese bestimmen das charakteristische Abklingverhalten und hängen nur von Geometrie und Materialkennwerten ab. Die Intensität der Singularität, und damit die eigentliche Höhe der Spannungen in der Umgebung der Spannungssingularität, wird durch die äußere Belastung festgelegt und stellt ebenfalls einen Indikator für die Kritikalität einer Spannungssingularität dar. Im Rahmen dieser Arbeit sind dazu ausführliche Untersuchungen für 3D-Spannungssingularitäten in erstgeschädigten Faserverbundlaminaten verschiedener Materialeigenschaften und Lagenaufbauten durchgeführt. Erstgeschädigte Faserverbundlaminate weisen typischerweise Zwischenfaserrisse und/oder Delaminationen auf, die auf die anisotropen Steifigkeits- und Festigkeitseigenschaften der Laminatlagen einerseits sowie den geschichteten Aufbau als Laminat andererseits zurückzuführen sind. Im Speziellen werden Struktursituationen betrachtet, in denen solche rissähnlichen Defekte aufeinander oder auf einen freien Rand treffen. Die Analysen ergeben, dass solche Struktursituationen zu 3D-Spannungssingularitäten führen und häufig als kritischer zu beurteilen sind als die einzelnen Defekte allein.

Die Bewertung spröder Strukturen mit Spannungssingularitäten mittels eines Versagenskriteriums, das unmittelbar auf der Verwendung von Spannungssingularitätsexponenten und der Intensität der Singularitäten basiert, ist zwar möglich, häufig muss ein gefundenes Kriterium dann aber für neue Lastfälle und Geometriesituationen angepasst werden. Aus diesem Grund wird ein allgemeineres Kriterium zur Versagensbewertung in Betracht gezogen, das nur die materialspezifischen Versagensparameter Festigkeit und Bruchzähigkeit erfordert: ein gekoppeltes Spannungs- und Energiekriterium im Rahmen der Bruchmechanik finiter Risse. Im Gegensatz zu klassischen, rein spannungsbasierten Festigkeitskriterien ist es in der Lage, die bei Spannungssingularitäten auftretende Problematik theoretisch unendlich großer Spannungen durch eine nicht-lokale Auswertung zu umgehen. Gleichzeitig kann es auch auf andere als die klassische Spannungssingularität an einer Rissfront angewendet werden. Um das Spannungs-Teilkriterium auswerten zu können, ist stets nur eine Spannungsanalyse notwendig. Zur Auswertung des Energie-Teilkriteriums sind inkrementelle Energiefreisetzungsraten (bei Rissentstehung pro neu entstandener Rissfläche freigesetzte Energie) für alle kinematisch zulässigen Risskonfigurationen zu bestimmen.

Für die Berechnung der inkrementellen Energiefreisetzungsraten in Abhängigkeit der Rissgröße wird eine sehr effiziente, asymptotische Methode präsentiert. Sie basiert auf der SBFEM und liefert für die gesuchten Energiefreisetzungsraten eine semi-analytische, matrixbasierte Reihendarstellung, die die Rissgröße als expliziten Eingangsparameter enthält. Die Anwendbarkeit und Effektivität dieser Methodik, der enrSBFEM mit Spannungsglättung zur Auswertung des Spannungs-Teilkriteriums einerseits und der aus der SBFEM abgeleiteten asymptotischen Methode zur Bestimmung von Energiefreisetzungsraten für die Auswertung des Energie-Teilkriteriums andererseits, wird schließlich anhand des Beispiels zweier in einem Faserverbundlaminat aufeinander treffender Zwischenfaserrisse unter biaxialer Last demonstriert.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In this work, it is shown how the Scaled Boundary Finite Element Method (SBFEM) can be employed for the efficient analysis and assessment of 3D stress singularities, and the required tools are provided. Stress singularities involve theoretically infinite material stress. But, of course, no material can sustain infinite stresses so that in real-life applications (locally confined) inelastic deformations like yielding of the material and nucleation of micro cracks occur. Nevertheless, stress singularities as an idealization often are in the spotlight of failure assessment of highly stressed structures. This work treats a subcategory of stress singularities: point singularities (also called 3D stress singularities), which exhibit a characteristic three-dimensional decay behavior and at the same time also exhibit line singularities. Line singularities e. g. occur along crack fronts, notch fronts and edges of bonded materials and accordingly are very common in engineering applications. In contrast to point singularities, line singularities show a characteristic twodimensional decay behavior. Hence, they are also called 2D stress singularities. Generally, 3D stress singularities are to be expected wherever line singularities exhibit a discontinuity, like e.g. ending at a free edge of a corresponding component, abruptly changing their orientation or meeting another line singularity. The analysis of stress singularities is particularly demanding, because very high stress gradients have to be resolved. Especially 3D problems can often only be solved using numerical methods like the commonly employed and established Finite Element Method (FEM). But the standard shape functions which are employed in the FEM are not capable of adequately approximating the high gradients. This results in reduced convergence rates and a reduced accuracy of the numerical solution, so that a very fine discretization, accompanied by a large computational effort, becomes necessary. In this work, the semi-analytical SBFEM is employed for the analysis of 3D stress singularities. In this method, only the boundary of the considered domain needs to be discretized, while the solution is considered to be analytical in a radial direction towards the point singularity. Thus, the high stress gradients in the radial direction can be appropriately reproduced by analytical functions. To also properly account for the likewise present line singularities, an enriched formulation of the SBFEM (enrSBFEM) is proposed and implemented in Matlab: The classical separation of variables approach for the displacements is supplemented and extended by 2D near-field solutions of the line singularities, which are determined either by the purely analytical method of complex potentials or the semi-analytical SBFEM for 2D problems. As a result the desired, uncorrupted convergence rates as well as a high accuracy are retrieved and the required computational effort is strongly reduced. Additionally, a superconvergent patch recovery for the recovery of smoothed and more accurate stresses, that is adequately adapted to the enrSBFEM, is developed and implemented. It completes the proposed approach to be an outstandingly efficient tool for the stress analysis of structures containing 3D stress singularities. For a first estimate of the criticality of a stress singularity, the associated stress singularity exponents can be used. These determine the characteristic decay behavior and only depend on the local geometry and the material involved. The intensity of the singularity is determined by the external loads and presents a measure for the actual magnitude of stresses in the immediate vicinity of the singularity. Accordingly, it can also serve as a measure for how critical a stress singularity is. This work contains a detailed study of 3D stress singularities in fiber-reinforced composite laminates (with respect to singularity exponents and intensity) considering different material properties and laminate lay-ups. Such composite laminates tend to develop intra- and inter-laminar cracks due to their laminar composition on the one hand and the highly anisotropic stiffness and strength properties of the individual laminate plies on the other. In particular, structural situations of such crack-like defects meeting each other or a free edge are considered. They are found to lead to 3D stress singularities that often are to be classified as more critical than the single 2D defects. The assessment of brittle structures which include stress singularities using a failure criterion that is based on singularity exponents and intensities of the singularities is not very efficient and effective. A corresponding failure criterion would usually need to be adjusted for different load cases and geometries. As a consequence, a more general, physically-consistent criterion which is only based on the material properties strength and fracture toughness is employed: a coupled stress and energy criterion in the framework of Finite Fracture Mechanics. In contrast to classical, purely stress-based failure criteria, it avoids the difficulty of assessing infinite stresses. At the same time and contrary to purely energy-based criteria, it is not restricted to be only applied to the classical crack singularity. For the evaluation of the stress criterion, generally, only one stress analysis calculation is required. However, for the evaluation of the energy criterion, incremental energy release rates (released energy per newly created crack surface) need to be calculated for every kinematically admissible crack configuration (different crack orientation, origin, shape). A very efficient asymptotic method to calculate incremental energy release rates directly as a function of crack size is presented. It is based on the SBFEM and yields a semi-analytical, matrix-based exponential series representation. Finally, the applicability and effectiveness of the overall methodology, using the enrSBFEM with stress smoothing for the evaluation of the stress criterion and the asymptotic method to efficiently determine energy release rates for the energy criterion evaluation, is demonstrated. To this end, the example of two intra-laminar cracks meeting in the interface between two laminate plies is considered for the case of a biaxial tension load in the laminate plane.English
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering
16 Department of Mechanical Engineering > Institute of Structural Mechanics (FSM)
Date Deposited: 08 Nov 2018 08:37
Last Modified: 08 Nov 2018 08:37
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-81285
Referees: Becker, Prof. Wilfried and Mittelstedt, Prof. Christian
Refereed: 16 October 2018
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/8128
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