# Peer Methods in Optimal Control

### Schröder, Dirk (2016)Peer Methods in Optimal Control. Technische Universität DarmstadtPh.D. Thesis, Primary publication

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Peer Methods in Optimal Control
Language: English
Referees: Lang, Prof. Dr. Jens ; Ulbrich, Prof. Dr. Stefan
Date: 5 February 2016
Date of oral examination: 28 April 2016
Abstract:

In this thesis we analyze implicit and linearly implicit peer methods in the context of optimization problems with ordinary or partial differential equations as constraints.

In many practical applications, like the cooling of glass, the propagation of a flame front in a cooled channel or the hardening of steel, the underlying physical process can be modeled by ordinary differential equations (ODE) or partial differential equations (PDE). The wish to optimize these processes leads to the field of ODE- and PDE-constrained optimization.

The constraints, in this case an ODE or PDE system, have to be evaluated several times in an optimization algorithm. Therefore it is very important to use efficient discretization methods for the arising differential equations. Runge-Kutta and Rosenbrock methods are a popular choice for ODEs and the time discretization of parabolic PDEs. However they suffer from order reduction when applied to stiff problems.

A promising alternative are peer methods. These methods construct several approximations to the solution in one time step like one-step methods and use the approximations of the last time step like multistep methods. Peer methods are proven to show no order reduction when applied to stiff problems. More details on peer methods are presented in Chapter 3. In this thesis we analyze peer methods within the optimal control with differential equations.

There are two popular approaches when solving optimal control problems. The first approach is called first-discretize-then-optimize, while the other is the first-optimize-then-discretize approach. In Chapter 4 we analyze the interchangeability of these two approaches when using peer methods. We find that the two approaches give quite different results for peer methods and especially conclude, that peer methods are not well suited for the first-discretize-then-optimize approach.

Therefore, we concentrate then on the first-optimize-then-discretize approach and especially want to employ peer methods within a multilevel optimization approach. To this end we derive a fully adaptive, that is adaptive in time and space, discretization for parabolic PDEs in Chapter 5.

We follow the Rothe approach and discretize first in time by a linearly implicit peer method leading to several linear elliptic problems. These are then discretized by multilevel linear finite elements. We derive a spatial error estimator based on hierarchical bases. The time error is estimated by comparing the computed solution with a solution of lower order. We look at the efficiency of the spatial error estimator both analytically and numerically. Finally we compare the performance of peer methods to that of Rosenbrock methods for three PDE test examples in 2D. We see that peer methods are competitive to Rosenbrock methods.

This fully adaptive scheme is then used within a multilevel optimization in Chapter 6. We first introduce the optimization algorithm and especially look at the points where the time integration plays a role. Finally, we present results for three PDE constrained control problems. Again the peer methods are competitive to Rosenbrock methods.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit werden implizite und linear implizite Peer-Methoden im Kontext der Optimierung mit gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen als Nebenbedingungen untersucht.

In vielen Anwendungsproblemen, wie dem Kühlen von Glas, einer wandernden Flammenfront in einem gekühlten Kanal, oder dem Härten von Stahl, können die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen modelliert werden. Der Wunsch diese Vorgänge zu optimieren, führt zum Feld der optimalen Steuerung mit Differentialgleichungen.

In einem Optimierungsalgorithmus müssen die Nebenbedingungen, also in unserem Fall ein System von gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen, mehrmals ausgewertet werden. Daher ist eine effiziente Diskretisierung der Differentialgleichungen sehr wichtig. Für gewöhnliche Differentialgleichungen und zur Zeitdiskretisierung parabolischer partieller Differentialgleichungen werden gerne Runge-Kutta- und Rosenbrock-Methoden benutzt. Allerdings zeigen diese Methoden bei sehr steifen Problemen und bei der Diskretisierung parabolischer Probleme oft nicht die zu erwartende, klassische Konvergenzordnung. Dieses Phänomen wird Ordnungsreduktion genannt.

Eine vielversprechende Alternative sind Peer-Methoden. Wie Einschrittverfahren berechnen diese Methoden mehrere Näherungslösungen in einem Zeitschritt und wie Mehrschrittverfahren nutzen sie hierfür die Näherungslösungen des letzten Zeitschritts. Es wurde bewiesen, dass Peer-Methoden auch für steife Probleme die volle Konvergenzordnung zeigen. Eine Einführung zu Peer-Methoden findet sich in Kapitel 3.

Zwei populäre Ansätze zur Lösung von Optimalsteuerproblemen sind der first-discretize-then-optimize Ansatz und der first-optimize-then-discretize Ansatz. Während beim first-discretize-then-optimize Ansatz erst die Zielfunktion und die Nebenbedingungen diskretisiert und dann das sich ergebende endlich-dimensionale Optimierungsproblem gelöst wird, werden beim first-optimize-then-optimize Ansatz die unendlich-dimensionalen Optimalitätsbedingungen diskretisiert. In Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit der Vertauschbarkeit dieser beiden Ansätze bei der Nutzung von Peer-Methoden. Wir zeigen, dass die beiden Ansätze zu sehr unterschiedlichen Resultaten führen und schließen daraus, dass Peer-Methoden nicht für den first-discretize-then-optimize Ansatz geeignet sind.

Daher konzentrieren wir uns im Folgenden auf den first-optimize-then-discretize Ansatz und nutzen Peer-Methoden in einem Multilevel Optimierungsalgorithmus. Hierfür leiten wir eine voll adaptive, also adaptiv sowohl in der Zeit als auch im Ort, Diskretisierung für parabolische partielle Differentialgleichungen in Kapitel 5 her. Wir nutzen den Rothe Ansatz und diskretisieren erst in der Zeit mit einer linear impliziten Peer-Methode. Dies führt auf mehrere lineare elliptische Probleme, die wir dann mit einer Multilevel Finiten Element-Methode diskretisieren. Der Fehlerschätzer für den Fehler im Ort basiert hierbei auf hierarchischen Basen. Den Fehler in der Zeit schätzen wir ab, indem wir die berechnete Lösung mit einer Lösung niedrigerer Ordnung vergleichen. Wir betrachten die Effizienz des räumlichen Fehlerschätzers sowohl analytisch als auch numerisch. Schließlich vergleichen wir die Laufzeit von Peer-Methoden mit der von Rosenbrock-Methoden für drei partielle Beispiele in 2D. Peer-Methoden zeigen sich hierbei wettbewerbsfähig zu Rosenbrock-Methoden.

Diese voll adaptive Diskretisierung nutzen wir dann für die Multilevel Optimierung in Kapitel 6. Zuerst führen wir den Optimierungsalgorithmus ein und legen dabei besonderes Augenmerk auf die Rolle der Zeitintegration. Schließlich präsentieren wir Ergebnisse für drei Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen, wobei sich Peer-Methoden wieder wettbewerbsfähig zu Rosenbrock-Methoden zeigen.

German
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-54404
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 28 Jun 2016 11:40