# A high-order discontinuous Galerkin solver and exact solutions for helically invariant flows

### Dierkes, Dominik (2020):A high-order discontinuous Galerkin solver and exact solutions for helically invariant flows.Darmstadt, Technische Universität, DOI: 10.25534/tuprints-00011841, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: A high-order discontinuous Galerkin solver and exact solutions for helically invariant flows
Language: English
Abstract:

In this thesis helical flows are investigated, in which the fluid particles simultaneously perform a rotational as well as a translational motion and, thus, move along a helix. The special feature of such flows is that they are based on a dimensional reduction, i.e. the number of coordinates, used to describe the flow is reduced. Such a reduction is referred to as dimensional reduction, since each coordinate represents one spatial dimension. The present work is divided into an analytical and a numerical part. In the analytical part, a new time-dependent coordinate system is derived from the symmetries of the incompressible Navier-Stokes equations. New conservation laws for viscous and non-viscous helical flows could be found for this coordinate system, which are shown in this thesis and have been published in the article Dierkes and Oberlack (2017). Furthermore, we consider the classical, temporally constant helical coordinate system and derive two classes of new exact solutions of the helical symmetric, full time-dependent Navier-Stokes equations. The first class of solutions is based on the symmetries of the Navier-Stokes equations and hence are denoted as invariant solutions. The second class of solutions is based on a linearization of the Navier-Stokes equations using the so-called Beltrami condition, whereby the velocity and vorticity vectors are assumed to be parallel to each other. In the numerical part of the work, a solver for the simulation of helically symmetrical flows is developed using the discontinuous Galerkin (DG) method, in which the solution is approximated by high-order polynomials. Due to the fact that helical flows in most cases are periodically in the direction of the central axis of the helix, a periodicity condition for the helical coordinates is derived. A condition for the velocity and the pressure is formulated analogously to the procedure known from the literature for axisymmetric flows (cf. Khorrami et al., 1989). This ensures the uniqueness of these physical quantities at the central axis of the helix. In addition, we introduce a suitable function space and formulate the spatial and temporal discretization of the helically symmetric Navier-Stokes equations. For the temporal discretization, we use a third order semi-explicit method in which the spatial operator is split into an explicit and an implicit part. Using this, the computational effort for transient simulations has been reduced significantly. The correct implementation is verified by various test cases including the exact solutions which have been found before. It is further shown that the convergence rates that we expect from theory are achieved. Finally, the results of direct numerical simulations at high Reynolds numbers are performed which reveal the formation of vortices, Kelvin-Helmholtz instabilities and the temporal development of energy spectra for helically invariant flows.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit werden helikale Strömungen untersucht, bei der die Fluidteilchen gleichzeitig eine rotatorische und translatorische Bewegung ausführen und sich somit entlang einer Helix bewegen. Das Besondere solcher Strömungen ist, dass ihnen eine Dimensionsreduktion zugrunde liegt. Das bedeutet, dass die Anzahl der Koordinaten, die zur Beschreibung der Strömung dienen, verringert wird. Eine solche Reduktion wird als Dimensionsreduktion bezeichnet, da jede der Koordinaten eine Raumdimension darstellt. Die vorliegende Arbeit ist in einen analytischen und einen numerischen Teil gegliedert. Im analytischen Teil wird zunächst, ausgehend von den Symmetrien der inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen, ein neues, zeitabhängiges Koordinatensystem hergeleitet. Für dieses konnten neue Erhaltungssätze für viskose sowie nicht-viskose helikale Strömungen gefunden werden, die in der vorliegenden Arbeit betrachtet und im Artikel Dierkes and Oberlack (2017) veröffentlicht wurden. Im weiteren Verlauf der Arbeit betrachten wir klassische, d. h. zeitlich konstante, helikale Koordinaten und leiten zwei Klassen von neuen exakten Lösungen der helikal-symmetrischen, instationären Navier-Stokes Gleichungen her. Die erste Klasse der Lösungen basiert auf den Symmetrien der helikal reduzierten Navier-Stokes Gleichungen und werden auch als invariante Lösungen bezeichnet. Die zweite Klasse von Lösungen beruht auf einer Linearisierung der Navier-Stokes Gleichungen durch die sogenannte Beltrami-Bedingung. Hierbei wird angenommen, dass der Geschwindigkeits- und Wirbelvektor des Strömungsfeldes parallel zueinander stehen. Im numerischen Teil der Arbeit wird ein Löser zur Simulation helikal symmetrischer Strömungen mit dem diskontinuierlichen Galerkin (DG) Verfahren entwickelt, bei dem die Lösung durch Polynome höherer Ordnung approximiert wird. Aufgrund der Tatsache, dass helikale Strömungen periodisch in Richtung der zentralen Achse der Helix verlaufen, wird zunächst eine Periodizitätsbedingung für die helikalen Koordinaten hergeleitet. Analog zu dem aus der Literatur bekannten Vorgehen für achsensymmetrische Strömungen (vgl. Khorrami et al., 1989) wird eine Bedingung für die Geschwindigkeit und den Druck formuliert, wodurch die Eindeutigkeit dieser physikalischen Größen auf der zentralen Achse sichergestellt ist. Nach der Einführung eines geeigneten Funktionenraums wird die räumliche und zeitliche Diskretisierung der helikal symmetrischen Navier-Stokes Gleichungen formuliert. Für die zeitliche Diskretisierung verwenden wir ein semi-explizites Verfahren dritter Ordnung, bei dem der räumliche Operator in einen expliziten und einen impliziten Teil aufgespalten wird. Hierdurch konnte der Rechenaufwand für instationäre Simulationen deutlich reduziert werden. Es wird die korrekte Implementierung anhand von verschiedenen Tests, einschließlich den zuvor gefundenen exakten Lösungen verifiziert. Zudem sind die aus der Theorie erwarteten Konvergenzraten erreicht worden. Schließlich werden die Ergebnisse von numerischen Simulationen für hohe Reynolds-Zahlen gezeigt, welche die Entstehung von Wirbeln, Kelvin-Helmholtz Instabilitäten und die zeitliche Entwicklung von Energiespektren für helikal invariante Strömungen darstellen.

German
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy)
16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy) > Numerische Strömungssimulation
16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy) > Strömungsmechanische Modellentwicklung
Date Deposited: 01 Jul 2020 08:32