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Simulation of chemical systems with fast chemistry

Lukassen, Axel Ariaan (2018):
Simulation of chemical systems with fast chemistry.
Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Simulation of chemical systems with fast chemistry
Language: English
Abstract:

This PhD thesis deals with the numerical simulation of chemical reaction systems. Chemical reaction systems occur in many different areas of our lives. In some areas, such as biology, scientists try to analyze the occurring chemical reactions for better understanding of the underlying mechanisms. In other areas, such as the chemical industry, the focus is on optimization of reactor design in order to increase the productivity. All cases have in common that the temporal development of the chemical reaction systems is described by differential equations. The derivation of the corresponding differential equations is given in chapter 2. The resulting differential equations are generally large nonlinear systems. Therefore, analytical solutions are usually not available, and an approximation of the solution is calculated by numerical integration methods on a computer. The size and the stiffness of the corresponding differential equations often lead to an unfavorably long computing time or an exceeding of the available memory space. Hence, many scientists have developed reduction mechanisms for chemical reaction systems. These reduction mechanisms exploit that there are very slow as well as very fast processes in chemical reaction systems. Depending on the discretization, the timescales of the fast processes are much smaller than the used time step of the numerical integration method. Thus, the fast processes are approximated by their partial equilibrium. The relaxation assumption results in algebraic equations, which can be used to reduce the dimension of the differential equation. Furthermore, the reduced differential equations are often not or less stiff. A description of the partial equilibrium assumption of single reactions or the quasi-stationary state assumption of individual chemical species is given in chapter 3. In addition, frequently used automatic reduction mechanisms of different authors are summarized in the corresponding chapter. Despite the great popularity of reduction mechanisms, the reduction mechanisms listed in chapter 3 are not applicable for all chemical reaction systems. Most of them are based on the existence of a low-dimensional manifold which is approached by the state of the reaction system in a fraction of the considered time step. However, such a low-dimensional manifold does not always exist. Furthermore, the choice of fast processes depends on time and space. Therefore, the dimension of the reduced differential equation can vary. This leads to additional problems. In order to reduce the stiffness of the differential equation, a new approach is introduced in chapter 4. In opposition to many other methods, this new approach is also applicable if the relaxation of the fast processes does not restrict the state of the system onto a low-dimensional manifold, and if the number of fast processes changes in time and space. Reduction of stiffness can decrease the necessary computing time of the numerical solver. The computing time is particularly important in parameter identification. The rate of each chemical reaction is described by at least one parameter. In order to determine unknown parameters, the solution of the differential equation has to be computed for many different parameter sets. Hence, for parameter estimation it is desirable to reduce the computing time of each solution. Since the algebraic equations from chapter 3 also depend on the unknown parameters, it is not possible to replace the differential equation for all possible parameter sets by one reduced differential equation. However, the additional information from the partial equilibrium assumption or the quasi-stationary state assumption can be used to calculate some unknown parameters as a function of all other parameters. This reduces the dimension of the parameter space, and decreases the computing time of parameter identification. The procedure is described in chapter 5. For the sake of simplicity, ordinary differential equations are considered in the chapters 3 to 5. However, many chemical reaction systems that are not homogeneous in space are described by partial differential equations. In the case of splitting methods, a sequence of partial differential equations for the transport and ordinary differential equations for the chemical reaction steps is solved. Thus, if splitting methods are used, a homogeneous chemical reactor is considered for each spatial node in the chemical reaction step. Therefore, the results of the chapters 3 to 5 are applicable. However, an additional splitting error is introduced. Popular splitting methods are the first order Lie-Trotter splitting and the second order Strang splitting. Stiffness of the considered differential equation results in order reduction for the Strang splitting scheme. Therefore, Strang splitting is only a first order scheme for stiff chemical reaction systems. However, the extrapolated Lie-Trotter splitting is a second order scheme for stiff chemical reaction systems. The analysis of the extrapolated Lie-Trotter splitting for chemical reaction systems is presented in chapter 6.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die vorliegende Promotion behandelt die numerische Simulation von chemischen Reaktionssystemen. Chemische Reaktionssysteme treten in vielen verschiedenen Bereichen unseres Lebens auf. In manchen Bereichen wie der Biologie versuchen Wissenschaftler die auftretenden chemischen Reaktionen zu analysieren, um sie besser zu verstehen. In anderen Bereichen wie der chemischen Industrie liegt der Fokus oft auf der Optimierung, im Sinne der Produktivität oder der Sicherheit. Alle Fälle haben gemeinsam, dass die zeitliche Entwicklung der chemischen Reaktionssysteme durch Differentialgleichungen beschrieben wird. Die Herleitung der entsprechenden Differentialgleichungen ist in Kapitel 2 gegeben. Die auftretenden Differentialgleichungen sind im Allgemeinen große nichtlineare Systeme. Deshalb sind analytische Lösungen meistens nicht verfügbar und eine Näherungslösung wird am Computer durch numerische Integrationsmethoden berechnet. Dabei führen die Größe und die Steifheit der betreffenden Differentialgleichungen häufig zu einer unvorteilhaft langen Rechenzeit oder einem Überschreiten des verfügbaren Speicherplatzes. Daher haben zahlreiche Wissenschaftler Reduktionsmechanismen für chemische Reaktionssysteme entwickelt. Dabei wird ausgenutzt, dass es in chemischen Reaktionssystemen sowohl sehr langsame als auch sehr schnelle Prozesse gibt. Abhängig von der Diskretisierung können die Zeitskalen der schnellen Prozesse dabei die verwendete Zeitschrittweite deutlich unterschreiten. Daher werden die schnellen Prozesse durch ihr Gleichgewicht approximiert. Es ergeben sich algebraische Gleichungen, welche den Zustand des Systems beschreiben. Diese Gleichungen können verwendet werden, um die Dimension der Differentialgleichung zu reduzieren. Desweiteren sind die reduzierten Differentialgleichungen in vielen Fällen weniger steif. Eine Beschreibung der Annahme des partiellen Gleichgewichts einzelner Reaktionen oder des quasi-stationären Zustands einzelner chemischer Spezies befindet sich in Kapitel 3. Außerdem werden in dem betreffenden Kapitel häufig verwendete automatische Reduktionsmechanismen verschiedener Autoren zusammengefasst. Trotz der großen Beliebtheit von Reduktionsmechanismen gibt es einige Szenarien, in denen die in Kapitel 3 gelisteten Reduktionsmechanismen nicht anwendbar sind. So basieren sie zum größten Teil auf der Existenz einer niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeit, welche das Gleichgewicht der schnellen Prozesse beschreibt. Die Mannigfaltigkeit ist jedoch nicht immer niedrig-dimensional. Desweiteren hängt die Auswahl an schnellen Prozessen manchmal von Zeit und Ort ab. Deshalb kann die Dimension der reduzierten Differentialgleichung variieren. Dies führt zu zusätzlichen Problemen. Um trotzdem die Steifheit der betrachteten Differentialgleichung zu reduzieren, wird in Kapitel 4 ein neuer Ansatz eingeführt. Dieser Ansatz ist auch anwendbar, falls der Zustand des chemischen Reaktionssystems nicht durch eine Approximation auf einer niedrig-dimensionalen Mannigfaltigkeit angenähert werden kann oder die Anzahl der schnellen Prozesse in Zeit und Ort variabel ist. Dies wird erreicht, indem die Geschwindigkeit der schnellen Prozesse reduziert wird. Dieses Vorgehen unterscheidet sich somit grundlegend von vielen anderen Methoden, die durch die sofortige Annahme des Gleichgewichts aller schneller Prozesse die betreffende Geschwindigkeiten auf unendlich erhöhen. Durch die Reduktion der Steifheit kann in vielen Fällen das Lösen der Differentialgleichungen beschleunigt werden. Ein Bereich, in dem die Rechenzeit besonders wichtig ist, ist die Parameteridentifizierung. Die Geschwindigkeit jeder chemischen Reaktion wird durch mindestens einen Parameter beschrieben. Um unbekannte Parameter zu bestimmen, ist im Allgemeinen die Lösung der Differentialgleichung für viele verschiedene Parametersätze nötig. Für die Parameteridentifizierung ist es daher wünschenswert die Rechenzeit der numerischen Integration zu reduzieren. Da die algebraischen Gleichungen aus Kapitel 3 ebenfalls von den unbekannten Parametern abhängen, ist es nicht möglich die Differentialgleichung für alle möglichen Parametersätze durch eine reduzierte Differentialgleichung zu ersetzen. Allerdings können die zusätzlichen Informationen aus der Annahme eines partiellen Gleichgewichts oder eines quasi-stationären Zustands benutzt werden, um einige unbekannte Parameter vorab in Abhängigkeit der anderen Parameter zu berechnen. Dadurch wird der Aufwand der Parameteridentifizierung verringert. Das betreffende Vorgehen wird in Kapitel 5 beschrieben. Der Einfachheit halber werden in den Kapiteln 3 bis 5 gewöhnliche Differentialgleichungen betrachtet. Jedoch werden viele chemische Reaktionssysteme, die nicht homogen im Ort sind, durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Splitting-Verfahren können verwendet werden, um die erzielten Ergebnisse auf partielle Differentialgleichungen übertragen zu können. Bei Splitting-Verfahren werden abwechselnd partielle Differentialgleichungen für den Transport und gewöhnliche Differentialgleichungen für die chemischen Reaktionsterme betrachtet. Allerdings wird ein zusätzlicher Splitting-Fehler eingeführt. Dieser hängt von dem Splittingzeitschritt ab. Beliebte Splitting Methoden sind das Lie-Trotter Splitting mit Ordnung 1 und das Strang Splitting mit Ordnung 2 . Ordnungsreduktion kann jedoch im Falle des Strang Splittings durch die Steifheit der betrachteten Systeme auftreten. Im Gegensatz dazu hat das extrapolierte Lie-Trotter Splitting auch für steife Reaktionssysteme mit langsamem Transport Ordnung 2 . Eine Analyse des extrapolierten Lie-Trotter Splittings für chemische Reaktionssysteme befindet sich in Kapitel 6.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 10 Dec 2018 14:47
Last Modified: 10 Dec 2018 14:47
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-81316
Referees: Kiehl, Prof. Dr. Martin and Lang, Prof. Dr. Jens
Refereed: 23 October 2018
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/8131
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