In dieser Arbeit wird die Modellreduktion von parabolischen partiellen Differentialgleichungen mit parametrisierten zufälligen Eingangsdaten betrachtet. Die Eingangsdaten gehen zum Beispiel durch physikalische Koeffizienten im Modell, externe Quellen oder Randbedingungen in die partielle Differentialgleichung ein. Die gesuchte Variable des Problems ist nicht nur die Lösung, sondern auch ein Output. Dieser Output wird durch ein Funktional, welches die Lösung auf eine reelle Zahl abbildet, berechnet. Durch die Zufälligkeit der Eingangsdaten sind auch die gesuchten Variablen des Problems Zufallsgrößen. Aus diesem Grund sind statistische Größen von Interesse, wobei diese Arbeit den Erwartungswert der Lösung und des Outputs untersucht. Um den Erwartungswert zu approximieren, wird ein Monte Carlo Schätzer verwendet. Monte Carlo benötigt viele Auswertungen des zugehörigen Problems, um eine hohe Genauigkeit zu erzielen, und kann deshalb zu großem Rechenaufwand führen. Mit Hilfe der Reduzierte-Basis-Methode (RBM) wird der Rechenaufwand reduziert. Die RBM ist eine Galerkin-Projektion auf einen niedrigdimensionalen Raum. Die Konstruktion dieses reduzierten Raumes erfolgt durch eine Kombination einer Proper Orthogonal Decomposition (POD) und eines Greedy Verfahrens (POD-greedy Algorithmus). Der POD-greedy Algorithmus ist Stand der Technik im Kontext der RBM für parabolische Probleme. Für die Konstruktion des reduzierten Raumes werden Fehlerschätzer verwendet, welche unter einem geringen Rechenaufwand bestimmt werden können. Die Fehlerschätzer werden als Kriterium für die Wahl der Basis des reduzierten Raumes verwendet.

Diese Arbeit entwickelt effiziente reduzierte Modelle hinsichtlich des Erwartungswertes der Fehler, welche aus der Modellreduktion resultieren. Dazu wird die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der zufälligen Eingangsdaten als Gewichts- funktion für Konstruktion des reduzierten Raumes verwendet (gewichtete RBM). In der Literatur wurde die gewichtete RBM erfolgreich für elliptische partielle Differentialgleichungen mit parametrisierten zufälligen Eingangsdaten angewendet. Diese Arbeit kombiniert die Ideen einer RBM für parabolische partielle Differentialgleichungen Grepl and Patera (2005) und einer gewichteten RBM für elliptische Probleme Chen et al. (2013), um die gewichtete RBM auf parabolische Probleme zu erweitern.

Numerische Tests vergleichen eine nicht-gewichtete RBM und eine gewichtete RBM bezüglich des erwarteten Fehlers der Lösung und des erwarteten Fehlers des Outputs. Darüber hinaus liefert diese Arbeit einen numerischen Vergleich der nicht-gewichteten RBM und der gewichteten RBM hinsichtlich eines Optimums. Das Optimum wird durch eine Orthogonalprojektion auf einen POD Raum bestimmt und minimiert den Erwartungswert des quadratischen Fehlers der Lösung.