Low-Rank Approximationen spielen eine bedeutende Rolle in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik, wie zum Beispiel in der Signal- und Bildverarbeitung, im maschinellen Lernen und Data Mining, sowie in der Bildgebung, der Bioinformatik, der Musterklassifizierung und im Bereich Computer Vision. Grund hierfür ist, dass viele Daten, die realen Anwendungsgebieten entstammen, von Natur aus niederrangig sind.

Ziel dieser Dissertation ist die Entwicklung neuer Algorithmen zur robusten Low-Rank Approximation einzelner und mehrerer Matrizen in Gegenwart von Ausreiß ern---einem Problem bei dem konventionelle Techniken der Dimensionalitätsreduktion wie beispielsweise die Hauptkomponentenanalyse (engl. principial component analysis, PCA) häufig versagen. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methodik basiert auf einer Residuen-Minimierung unter Verwendung der lp-Norm, einschließ lich des nicht-konvexen und nicht-stetigen Falles von $p<1$. Im Zentrum der Arbeit stehen sowohl die theoretische Analyse des Problems als auch dessen praktische Anwendung. Die gewonnen experimentellen Erkenntnisse zeigen die überlegenheit der vorgestellten Methodik gegenüber aktuellen Vergleichsverfahren.

Zunächst werden zwei iterative Algorithmen zur Low-Rank Approximation einer einzelnen Matrix konzipiert. Die sogenannte iteratively reweighted singular value decomposition (IR-SVD) Methode basiert auf einer Matrix-Singulärwertzerlegung, bei der die zugrundeliegende Matrix in jeder Iteration des Verfahrens neu gewichtet wird. In der zweiten Methode wird das nicht-konvexe lp-Matrixfaktorisierungsproblem durch eine Reihe einfacherer lp-Minimierungsprobleme ersetzt, wobei die auftretenden Vektoren als eigenständige Variablen betrachtet werden. Zu beiden Verfahren werden Anwendungsbeispiele aus verschiedenen Bereichen diskutiert, darunter die Separation von Bildkomponenten, die Vordergrunddetektion in der Videoüberwachung, Beispiele aus dem Bereich Array-Signalverarbeitung, sowie die Richtungsschätzung zur Quellenlokalisierung in impulsivem Rauschen.

Anschließ end wird die Low-Rank Approximation mit fehlenden Werten (engl. robust matrix completion) behandelt, für welche ebenfalls zwei Verfahren vorgestellt werden. Das erste Verfahren bietet einen iterativen Lösungsansatz, welcher auf der Berechnung linearer l_p-Regressionsproblemen basiert. Das zweite Verfahren beruht auf der sogenannten alternating direction method of multipliers (ADMM) im l_p-Raum. Bei jeder Iteration von ADMM wird eine Matrixfaktorisierung im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate (engl. least squares, LS) durchgeführt, wofür ein Näherungsoperator basierend auf der $p$-ten Potenz der lp-Norm berechnet wird. Die LS-Faktorisierung wird effizient durch lineare Regression gelöst, wobei der Nährerungsoperator über die Nullstellen einer skalaren nichtlinearen Funktion berechnet wird. Beide Algorithmen sind in der Problemgröß e skalierbar. Die Verfahren werden anhand von Beispielen zur kollaborativen Filterung, der automatischen Bildvervollständigung, sowie anhand einer Anwendung im Bereich Empfehlungssysteme demonstriert.

Für die robuste Low-Rank Approximation mehrerer Matrizen (RLRAMM) mit Ausreiß ern werden lp-greedy pursuit (lp-GP) Algorithmen konzipiert. Das lp-GP Verfahren mit $0<p<2$ löst die RLRAMM Problematik, indem das Kernproblem in eine Reihe von Rang-Eins Approximationsproblemen zerlegt wird. Bei jeder Iteration des Verfahrens wird die beste Rang-Eins Approximation durch Minimierung der l_p-Norm des Residuums gefunden, woraufhin die Rang-Eins Basismatrizen vom Residuum subtrahiert werden. Anschließ end wird ein Minimierungsansatz zur l_p-Rang-Eins Berechnung vorgestellt. Da der Sonderfall $p=1$ nur die Berechnung gewichteter Mediane erfordert, ist die Komplexität des Verfahrens beinahe linear in der Anzahl und Dimension der Matrizen, wodurch l1-GP nahezu skalierbar für groß e Probleme wird. Die Konvergenz von l_p-GP wird formal nachgewiesen, wobei gezeigt wird, dass die Summe der lp-Normen der Residuen exponentiell abklingt. Hierbei wird ein Zusammenhang zwischen der Konvergenzrate im ungünstigsten Fall und der lp-Korrelation zwischen den Residuen und der aktuellen Lösung hergestellt. Des Weiteren wird gezeigt, dass lp-GP ein höheres Kompressionsverhältnis gegenüber bisherigen Methoden aufweist. Für den Spezialfall $p=2$ wird die orthogonal greedy pursuit (OGP) Methode weiterentwickelt, um deren Konvergenz zu beschleunigen. Gleichzeitig wird der Berechnungsaufwand der erforderlichen Neugewichtung durch ein rekursives Updateverfahren reduziert. Abschließ end werden festere und genauere Grenzen der Konvergenzraten für den Fall $p=2$ abgeleitet und Anwendungen zur Datenkompression, zur robusten Bildrekonstruktion und zur Bildverarbeitung diskutiert.