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Infinite-Dimensional Lie Theory for Gauge Groups

Wockel, Christoph :
Infinite-Dimensional Lie Theory for Gauge Groups.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2006)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Infinite-Dimensional Lie Theory for Gauge Groups
Language: English
Abstract:

The aim of this thesis is to consider symmetry groups of principal bundles and to initiate a Lie theoretic treatment of these groups. These groups of main interest are called gauge groups. When taking a particular principal K-bundle P into account, we denote the gauge group of this bundle by Gau(P), which we mostly identify with the space of smooth K-equivariant mappings C∞(P,K)K. These groups will be treated as infinite-dimensional Lie groups, modelled on an appropriate vector space. Since Lie theory in infinite dimensions is a research area which is presently under active development, this terminology is not settled, and we have to make precise what we mean with ``infinite-dimensional Lie theory''. The following questions are considered in this thesis: For which bundles P is Gau(P) an infinite-dimensional Lie group, modelled on an appropriate locally convex space? How can the homotopy groups πn(Gau(P)) be computed? What extensions does Gau(P) permit? Of course, this is only a marginal part of the questions that come along with Lie groups. These problems have in common that they can be approached with the same idea, which we describe now. Along with a bundle P come many different ways of describing it (up to equivalence). Two fundamental different ways are given by describing P either in terms of a classifying map fP, or by a cocycle kP. A classifying map fP is a globally defined map fP with values in some classifying space, while a cocycle consists of many locally defined maps, with values in a Lie group, obeying some compatibility conditions. These objects, classifying maps and cocycles, live in two different worlds, namely topology and Lie theory. The idea now is to combine these two concepts and to use the existing tools from topology and Lie theory in order to give answers to the questions above. Since the questions are formulated quite generally, we cannot hope to get answers in full generality, but for many interesting cases occurring in mathematical physics, we will provide answers. These include: Construction of a Lie group structure on Gau(P) if the structure group is locally exponential. Showing that the canonical inclusion Gauc(P)→ Gau(P) is a weak homotopy equivalence. Providing a smoothing procedure for continuous principal bundles. Construction of an Extension of Lie groups Gau(P)→Aut(P)→ Diff(M)P. Calculation of some homotopy groups and of all rational homotopy groups of Gau(P) for finite-dimensional principal bundles over spheres. Construction of central extensions Z→ GP → Gau(P)0. Construction of an automorphic action of Aut(P) on GP. Applications to affine twisted Kac-Moody groups.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Ziel dieser Arbeit ist die Initialisierung einer Lie-theoretischen Behandlung von Eichgruppen als Symmetriegruppen von Hauptfaserbündeln. Für ein fixes K-Hauptfaserbündel P bezeichnen wir diese Gruppen mit Gau(P) und identifizieren sie meistens mit der Gruppen der äquivarianten glatten Abbildungen C∞(P,K)K. Diese Gruppen werden als unendlichdimensionale Lie-Gruppen behandelt, die auf geeigneten lokalkonvexen Räumen modelliert sind. Da unendlichdimensionale Lie-Theorie ein Gebiet ist, das momentan einem regen Forschugsprozess unterworfen ist und die Terminologie noch nicht gefestigt ist, müssen wir die Fragestellung präzisieren. In dieser Arbeit wird den folgenden Fragen nachgegangen: Für welche Hauptfaserbündel P ist Gau(P) eine unendlichdimensionale Lie-Gruppe, die auf einem geeigneten lokalkonvexen Raum modelliert ist? Wie können die Homotopiegruppen πn(Gau(P)) bestimmt werden? Wie sieht die Erweiterungstheorie von Gau(P) aus? Dies ist natürlich nur ein kleiner Teil der Fragen, die mit Lie-Gruppen verbunden sind. Sie haben die Gemeinsamkeit, dass sie alle mit der gleichen Idee behandelt werden können, die wir im Folgenden beschreiben. Ein Bündel kann (bis auf Äquivalenz) auf mehrere verschiedenen Arten beschrieben werden. Zwei fundamental verschiedene Arten sind durch die Beschreibung durch eine klassifizierende Abbildung fP und durch einen Kozyklus kP gegeben. Eine klassifizierende Abbildung fP ist eine global definierte Abbildung mit Werten in einem klassifizierenden Raum, während ein Kozyklus aus vielen lokal definierten Abbildungen besteht, die Werte in der Lie-Gruppe K annehmen und bestimmte Kompatibilitätsbedingungen erfüllen. Diese beiden Objekte, klassifizierende Abbildungen und Kozyklen, leben in zwei verschiedenen Welten, nämlich Topologie und Lie-Theorie. Die Idee ist nun, diese beiden Konzepte zu kombinieren und die bestehenden Resultate aus Topologie und Lie-Theorie zu benutzen um Antworten auf die oben genannten Fragen zu erhalten. Da diese Fragen recht allgemein gehalten sind kann man nicht erwarten, Antworten in dieser Allgemeinheit zu erhalten. In dieser Arbeit werden wir jedoch viele interessante Fälle aus der mathematischen Physik behandeln. Die dabei erzielten Resultate beinhalten: Konstruktion einer Lie-Gruppenstruktur auf Gau(P) falls die Strukturgruppe lokal exponentiell ist. Verifikation, dass die kanonische Abbildung Gau(P)→ Gauc(P) eine schwache Homotopieäquivalenz ist. Entwicklung eines Gättungsverfahrens für Hauptfaserbündel. Konstruktion einer Erweiterung von Lie-Gruppen Gau(P)→Aut(P)→ Diff(M)P. Bestimmung einiger Homotopiegruppen und aller rationalen Homotopiegruppen von Gau(P) für endlichdimensionale Hauptfaserbündel über Sphären. Konstruktion zentraler Erweiterungen Z→ GP → Gau(P)0. Konstruktion einer automorphen Wirkung von Aut(P) auf GP. Anwendung auf affine getwistete Kac-Moody Gruppen.German
Uncontrolled Keywords: manifold with boundary, manifold with corners, complex manifold with boundary, complex manifold with corners, infinite-dimensional manifold, infinite-dimensional Lie group, central extension, extension of Lie groups, mapping group, group of smooth mappings, group of holomorphic mappings, smooth extension, gauge group, Kac-Moody group, Kac-Moody algebra, twisted Loop group, twisted Loop algebra, topology of gauge groups, continuous principal bundles, smooth principal bundles, equivalences of continuous and smooth principal bundles, smoothing principal bundles, smoothing bundle equivalences, non abelian Cech cohomology, twisted K-theory, bundles over spheres, bundles over surfaces, homotopy groups of gauge groups, rational homotopy groups of gauge groups, Samelson product, Whitehead product
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
manifold with boundary, manifold with corners, complex manifold with boundary, complex manifold with corners, infinite-dimensional manifold, infinite-dimensional Lie group, central extension, extension of Lie groups, mapping group, group of smooth mappings, group of holomorphic mappings, smooth extension, gauge group, Kac-Moody group, Kac-Moody algebra, twisted Loop group, twisted Loop algebra, topology of gauge groups, continuous principal bundles, smooth principal bundles, equivalences of continuous and smooth principal bundles, smoothing principal bundles, smoothing bundle equivalences, non abelian Cech cohomology, twisted K-theory, bundles over spheres, bundles over surfaces, homotopy groups of gauge groups, rational homotopy groups of gauge groups, Samelson product, Whitehead productEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22
Last Modified: 07 Dec 2012 11:52
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000752
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-7526
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Michor, Prof. Dr. Peter
Advisors: Neeb, Prof. Dr. Karl-Hermann
Refereed: 20 October 2006
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/752
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