# Second-Order Implicit Methods for Conservation Laws with Applications in Water Supply Networks

### Wagner, Lisa (2018):Second-Order Implicit Methods for Conservation Laws with Applications in Water Supply Networks.Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Second-Order Implicit Methods for Conservation Laws with Applications in Water Supply Networks
Language: English
Abstract:

In this thesis, we develop and analyse numerical methods for the simulation of water transport processes in networks. In this context, the possibility of combining such a method with adjoint-based optimization algorithms is of special importance. These algorithms are used in a simulation-based assistance system which computes energy-optimized operation plans of drinking water supply networks. In the first part, we develop and analyse suitable numerical methods to solve the so-called water hammer equations which describe the flow of water through pressurized pipes. From a mathematical point of view, the challenges are the hyperbolic character of this one-dimensional system on the one hand, and a possibly stiff source term modelling the friction effects on the other hand. For the time integration, we use so-called strong stability preserving (SSP) singly-diagonal implicit Runge-Kutta (SDIRK) methods. Such methods are advantageous with respect to their numerical implementation and further, they preserve the nonlinear stability which is an important property in the context of hyperbolic partial differential equations. Concerning hyperbolic equations, there are two important characteristic features which numerical methods need to display – being conservative and handling discontinuities and shocks. For this reason, we use Finite Volume and Discontinuous Galerkin methods for the spatial discretization. For the fully discrete schemes, which are combinations of the schemes mentioned above, we derive important properties: well-balancedness with respect to the water hammer equations and a discrete maximum principle. As a result, the numerical methods are able to exactly approximate the stationary state of the water hammer equations, which can be used to prove asymptotic stability. Further, the numerical solution which is computed by the methods lies in a certain range, which depends on the initial condition. All theoretical results are additionally verified by numerical tests. The results presented here were achieved within a project that aims to develop a simulation-based assistance system for drinking water supply. We therefore describe the structure of the entire system in the second part of the thesis. In particular, we take a closer look at the incorporated optimization module and the model equations for all network components. The assistance system is capable of successfully reducing the energy consumption of the whole network, which we demonstrate by two examples based on real data provided by our project partners.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Entwicklung und Untersuchung numerischer Verfahren zur Simulation des Wassertransports in Netzwerken. Dabei spielt insbesondere die Kombinierbarkeit mit adjungiert-basierten Optimierungsalgorithmen eine Rolle, welche in einem simulations-basierten Assistenzsystem zur Berechnung energie-optimierter Betriebsfahrpläne für Trinkwasserversorgungsnetze Anwendung finden. Im ersten Teil dieser Arbeit entwickeln und untersuchen wir geeignete numerische Verfahren zur Lösung der Water-Hammer Gleichungen, die den Wasserfluss in einem druckbehafteten Rohr beschreiben. Die Schwierigkeiten hierbei sind einerseits der hyperbolische Charakter dieses ein-dimensionalen Systems und andererseits ein möglicherweise steifer Quellterm für die Modellierung von Reibungseffekten. Für die Zeitintegration benutzen wir sogenannte strong stability preserving (SSP) singly-diagonal implicit Runge- Kutta (SDIRK) Verfahren, welche sowohl Vorteile bezüglich der numerischen Implementierung haben, als auch die nichtlineare Stabilität erhalten. Diese stellt insbesondere im Kontext von hyperbolischen Gleichungen eine wichtige Eigenschaft dar. Da bei hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen die Erhaltungseigenschaft von Bedeutung ist und insbesondere Unstetigkeiten auftreten können, verwenden wir Finite-Volumen und Discontinuous Galerkin Verfahren zur Ortsdiskretisierung. Für die Volldiskretisierung in Form einer Kombination der oben genannten Verfahren leiten wir wichtige Eigenschaften her: Well-balancedness bezüglich der Water-Hammer Gleichungen und ein diskretes Maximumsprinzip. Damit erfüllt das numerische Verfahren den stationären Zustand der Water-Hammer Gleichungen exakt, womit auch die asymptotische Stabilität nachgewiesen werden kann. Ferner liegt die numerische Lösung innerhalb eines durch die Anfangsbedingung festgelegten Intervalls. Alle theoretischen Ergebnisse werden mithilfe numerischer Tests verifiziert. Diese Arbeit entstand im Rahmen eines Projekts, das sich mit der Entwicklung eines simulations-basierten Assistenzsystems in der Trinkwasserversorgung beschäftigt. Im zweiten Teil der Dissertation beschreiben wir daher die Gesamtstruktur des Systems und gehen insbesondere auf das eingebaute Optimierungsmodul und die Modellgleichungen für alle vorhandenen Netzwerkkomponenten ein. Das Assistenzsystem ist in der Lage, den Energieverbrauch des gesamten Netzwerks erfolgreich zu reduzieren, was wir anhand zweier Beispiele basierend auf realen Daten illustrieren.

German
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics
04 Department of Mathematics > Numerical Analysis and Scientific Computing
Date Deposited: 15 Mar 2018 13:37
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-72521
Referees: Lang, Prof. Dr. Jens ; Steinebach, Prof. Dr. Gerd ; Wollner, Prof. Dr. Winnifried
Refereed: 12 December 2017